Abgeschlossenheit von Bild < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:30 Do 10.03.2011 | | Autor: | makw |
| Aufgabe | Sei [mm] T\in [/mm] L(E,F) = Menge der lin.beschraenkten Operatoren, E und F sind normierte VR,
imT = ist das Bild von T |
Nun stelle ich mir die Frage, ob das Bild von T also imT abgeschlossen ist.
Abgeschlossenheit heisst, habe eine konvergente Fo;ge aus imT, sei diese [mm] (x_{n}), [/mm] so dass der Grenzwert [mm] lim(x_{n}) [/mm] wieder in imT. Allgemein ist das Bild eines Operators zwischen 2 normierten VR abgeschlossen, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:52 Do 10.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]T\in[/mm] L(E,F) = Menge der lin.beschraenkten Operatoren, E
> und F sind normierte VR,
> imT = ist das Bild von T
> Nun stelle ich mir die Frage, ob das Bild von T also imT
> abgeschlossen ist.
> Abgeschlossenheit heisst, habe eine konvergente Fo;ge aus
> imT, sei diese [mm](x_{n}),[/mm] so dass der Grenzwert [mm]lim(x_{n})[/mm]
> wieder in imT. Allgemein ist das Bild eines Operators
> zwischen 2 normierten VR abgeschlossen, oder?
Nein.
Beispiel: Sei $E=F= [mm] l^2$ [/mm] , [mm] \{u_k: k \in \IN\} [/mm] die üblichen Orthonormalbasis von [mm] l^2 [/mm] und [mm] $T:l^2 \to l^2$ [/mm] definiert durch:
[mm] Tu_k:= \bruch{1}{4k^2}u_{4k+2}
[/mm]
Dann ist $T [mm] \in L(l^2,l^2)$ [/mm] und T hat einen nicht abgeschlossenen Bildraum.
FRED
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