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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:53 So 01.11.2009 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Gegeben ist ein Anfangswertproblem mit einer stückweise definierten rechten Seite:
[mm] \dot [/mm] x(t) = [mm] \begin{cases} f_1(t,x), & \mbox{für } tt_s \end{cases}, x(t_0) [/mm] = [mm] x_0.
[/mm]
Der Schaltpunkt [mm] t_s [/mm] ist implizit definiert durch die Schaltbedingung [mm] Q(t_s, x(t_s^-))=0.
[/mm]
Es sei angenommen Q besitze genau eine Nullstelle bei [mm] t_s\in[t_0; t_1].
[/mm]
Am Schaltpunkt wird der Sprung definiert durch:
[mm] x(t_s^+)=x(t_s^-)+h(t_s, x(t_s^-)).
[/mm]
(Wobei [mm] x(t_s^-) [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow t_s, tt_s}x(t).)
[/mm]
Berechne [mm] \frac{\delta x(t_1)}{\delta x_0}.
[/mm]
Hinweise:
Der Schaltpunkt ist über den Satz über die implizite Funktion bestimmt.
Die Ableitung [mm] \frac{\delta t_s}{\delta x_0} [/mm] folgt daraus.
Wovon hängt [mm] x(t_s^+) [/mm] explizit und implizit ab?
Berechne [mm] \frac{\delta x(t_s^+)}{\delta x_0}.
[/mm]
Wovon hängt [mm] x(t_1) [/mm] explizit und implizit ab?
Berechne [mm] \frac{\delta x(t_1)}{\delta x_0}. [/mm] |
Hallo,
ich hänge bereits kurz nach dem beim Ansatz den ich mit den Hinweisen zu fassen bekomme habe.
Ich habe die implizite Schaltbedingung [mm] Q(t_s, x(t_s^-))=0 [/mm] gegeben. Daraus kann ich mit dem Satz über die implizite Funktion jetzt die Ableitung von [mm] t_s [/mm] nach [mm] x_0 [/mm] berechnen (also im Endeffekt die Abhängigkeit des Schaltpunkts vom Anfangswert) und erhalte dann:
[mm] \frac{\delta t_s}{\delta x_0} [/mm] = [mm] -(\frac{\delta Q(t_s, x_0)}{\delta x_0})^{-1}*\frac{\delta Q(t_s, x_0)}{\delta t_s}
[/mm]
Stimmt das soweit?
Und komme ich jetzt zum nächsten Schritt?
Das [mm] x(t_s^+) [/mm] hängt zum einen explizit von dem Sprung ab der an der Schaltstelle passiert, also [mm] x(t_s^+)=x(t_s^-)+h(t_s, x(t_s^-)) [/mm] und zum anderen von der oben bereits betrachteten Schaltbedingung Q.
Aber was bringt mir das im Hinblick auf die Ableitung $ [mm] \frac{\delta x(t_s^+)}{\delta x_0}? [/mm] $
Wenn mit hier jemand weiter helfen könnte wäre ich sehr dankbar.
Grüße
Zerwas
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mi 04.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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