Abi 2011 GK Aufgabe Analysis < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Fr 04.10.2013 | | Autor: | leroxxx |
| Aufgabe | 1. Die nachträgliche Auswertung der Aufzeichnungen des Höhenbarometers eines Heißluftballons ergab, dass sich die Höhe des Ballons über dem Startpunkt der Ballonfahrt durch die Funktion h mit der Gleichung [mm] h(t)=-0.5t^3+2t^2+t [/mm] beschreiben lässt.
t: Zeit in Stunden
h(t): Höhe in 100 Metern
Der Ballon startet zum Zeitpunkt t=0 in der Höhe h=0.
1.2 Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt der Ballon am schnellsten sinkt. Bestimmen Sie die größte Sinkgeschwindigkeit.
2. Die Ballonhülle eines Heißluftballons wird durch die horizontale und vertikale Lastbänder, die in die Hülle eingenäht sind stabilisiert. Die horizontalen Lastbänder verlaufen wie Fassringe rund um die Hülle. DIe vertikalen Lastbänder laufen vom höchsten Punkt des Ballons seitlich herab bis zum runden Brennerrahmen, der oberhalb der Austrittsdüse des Brenners sitzt. AM Ballonäquator ist der Umfang des Ballons maximal.
Die Vertikalen Lastbänder werden durch die Funktion f: [mm] \bruch{x}{4}\wurzel{a-x};a>0 [/mm] beschrieben, wobei sich der Ursprung des Koordinatensystems an der Austrittsdrüse des Brenners befindet und die x-Achse der vertikalen Rotationsymmetrieachse des Ballons entspricht.
2.1 Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der vertikalen Lastbänder, wenn sich der Ballonäquator [mm] 13\bruch{1}{2}m [/mm] über der Austrittsdüse des Brenners befindet. Erklären Sie Ihren Lösngsansatz. [ Kontrollergebnis: a = 20 ] |
Frage zur Aufgabe 1.2:
Wenn es um Steigung geht, geht es ja meistens um die erste Ableitung also f'(x). Und ich habe mir gedacht, wenn ich den Tiefpunkt der Ableitung bestimme, habe ich den Zeitpunkt an dem der Ballon am shnellsten sinkt. Problem der Überlegung: Dieser Wert ist ja der Wendepunkt den ich da berechnet habe. Also muss da etwas falsch sein.
Frage zur Aufgabe 2.1: Ich habe mir gedacht, da ich den wert 13.5 als x-Wert gegeben habe und da der Wert genau über dem Brenner sitzt den y-Wert 0 hat. Das wollte ich in die Gleichung einsetzen, jedoch erhalte ich nicht den gewünschten bzw. vorgegebenen Wert (zur Kontrolle) wenn ich diese Gleichung dann zu a Auflöse. Was mache ich falsch?
Vielen Dank im Vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> 1. Die nachträgliche Auswertung der Aufzeichnungen des
> Höhenbarometers eines Heißluftballons ergab, dass sich
> die Höhe des Ballons über dem Startpunkt der Ballonfahrt
> durch die Funktion h mit der Gleichung [mm]h(t)=-0.5t^3+2t^2+t[/mm]
> beschreiben lässt.
> t: Zeit in Stunden
> h(t): Höhe in 100 Metern
> Der Ballon startet zum Zeitpunkt t=0 in der Höhe h=0.
>
> 1.2 Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt der Ballon am
> schnellsten sinkt. Bestimmen Sie die größte
> Sinkgeschwindigkeit.
>
> 2. Die Ballonhülle eines Heißluftballons wird durch die
> horizontale und vertikale Lastbänder, die in die Hülle
> eingenäht sind stabilisiert. Die horizontalen Lastbänder
> verlaufen wie Fassringe rund um die Hülle. DIe vertikalen
> Lastbänder laufen vom höchsten Punkt des Ballons seitlich
> herab bis zum runden Brennerrahmen, der oberhalb der
> Austrittsdüse des Brenners sitzt. AM Ballonäquator ist
> der Umfang des Ballons maximal.
>
> Die Vertikalen Lastbänder werden durch die Funktion f:
> [mm]\bruch{x}{4}\wurzel{a-x};a>0[/mm] beschrieben, wobei sich der
> Ursprung des Koordinatensystems an der Austrittsdrüse des
> Brenners befindet und die x-Achse der vertikalen
> Rotationsymmetrieachse des Ballons entspricht.
>
> 2.1 Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der vertikalen
> Lastbänder, wenn sich der Ballonäquator [mm]13\bruch{1}{2}m[/mm]
> über der Austrittsdüse des Brenners befindet. Erklären
> Sie Ihren Lösngsansatz. [ Kontrollergebnis: a = 20 ]
> Frage zur Aufgabe 1.2:
>
> Wenn es um Steigung geht, geht es ja meistens um die erste
> Ableitung also f'(x). Und ich habe mir gedacht, wenn ich
> den Tiefpunkt der Ableitung bestimme, habe ich den
> Zeitpunkt an dem der Ballon am shnellsten sinkt. Problem
> der Überlegung: Dieser Wert ist ja der Wendepunkt den ich
> da berechnet habe. Also muss da etwas falsch sein.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
.
Prinzipiell ist die Idee, für 1.2. das Minimum der 1.Ableitung zu berechnen, ziemlich gut!
Nun fürchte ich allerdings, daß Du ein Maximum berechnet hast, welches zudem noch den Schönheitsfehler hat, daß f'(x) an der berechneten Stelle positiv ist, es sich also bei dem berechneten Zeitpunkt um den der größten Steigung handelt.
Du jedoch suchst das Minimum...
f'(x) ist eine umgekehrte Parabel, nach einem lokalen Minimum sucht man dort vergebens.
Möglicherweise reichen Dir diese Hinweise schon. Du kannst ja auch mal f(x) und dazu f'(x) zeichnen.
Für 2.1. hab' ich im Moment keine Zeit mehr.
LG Angela
>
> Frage zur Aufgabe 2.1: Ich habe mir gedacht, da ich den
> wert 13.5 als x-Wert gegeben habe und da der Wert genau
> über dem Brenner sitzt den y-Wert 0 hat. Das wollte ich in
> die Gleichung einsetzen, jedoch erhalte ich nicht den
> gewünschten bzw. vorgegebenen Wert (zur Kontrolle) wenn
> ich diese Gleichung dann zu a Auflöse. Was mache ich
> falsch?
>
> Vielen Dank im Vorraus.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
Hallo, dir ist gaz bestimmt ein Schreibfehler unterlaufen, sonst kommt man nicht auf dein Kontrollergebnis a=20, mit [mm] 13\bruch{1}{3} [/mm] klappt es, es gilt:
[mm] f'(13\bruch{1}{3})=0
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{4}\wurzel{a-x}-\bruch{x}{8\wurzel{a-x}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{4}\wurzel{a-13\bruch{1}{3}}-\bruch{13\bruch{1}{3}}{8\wurzel{a-13\bruch{1}{3}}}=0
[/mm]
nach a umstellen überlasse ich dir,
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Fr 04.10.2013 | | Autor: | leroxxx |
Stimmt. Es ist 13 [mm] \bruch{1}{3}, [/mm] mein Fehler. Aber kannst du mir sagen, warum man an dieser Stelle die 1. Ableitung verwendet statt die Urprungsgleichung? Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
Hallo, die vertikalen Bänder verlaufen von oben nach unten, am Ballonäquator erreichen sie ihren maximalen Abstand von der senkrechten Linie, die mittig von oben nach unten durch den Ballon verläuft, es ist also die 1. Ableitung zu bilden, Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Fr 04.10.2013 | | Autor: | leroxxx |
| Aufgabe | | 2.2 Berechnen Sie die Höhe des Ballons (Austrittsdüse des Brenners bis Ballonspitze), die Länge des horizontalen Lastbandes am Ballonäquator sowie den Durchmesser des Brennerrahmens, der 1 Meter über der Austrittsdüse des Brenners angebracht ist. |
Dies ist ein weiterer Teil meiner Aufgabe. Jedoch kriege ich einfach nicht raus, wie ich darauf komme. Ich bitte niemanden darum, das für mich auszurechnen, jedoch kann mir jemand einen Tipp geben wie ich darauf komme?
|
|
|
| |
|
Hallo, du hast jetzt a=20 berechnet, somit ist die Funktionsgleichung bekannt
[mm] f(x)=\bruch{x}{4}\wurzel{20-x}
[/mm]
1)
die Höhe des Ballons kannst du durch [mm] f(x)=0=\bruch{x}{4}\wurzel{20-x} [/mm] berechnen, x=...
2)
die Länge des horizontalen Lastbandes kannst du durch [mm] f(13\bruch{1}{3}) [/mm] berechnen, das liefert dir den Radius, hast du den Radius eines Kreises, so sollte der Umfang kein Problem sein
3)
den Durchmesser des Brennerrahmens, der 1m über dem Brenner sich befindet, kannst du durch f(1) berechnen, dadurch bekommst du den Radius, der Durchmesser sollte dann wieder kein Problem sein,
ich habe dir mal eine Skizze gemacht, die rote Funktion ist [mm] f(x)=\bruch{x}{4}\wurzel{20-x}, [/mm] der halbe Ballon, ich habe dir gelb die andere Hälfte auch eingezeichnet
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 Fr 04.10.2013 | | Autor: | leroxxx |
Vielen vielen lieben Dank Steffi. Auf einiges hätte ich echt auch selbst kommen können..
Du warst echt eine sehr große Hilfe!
Das einzige wobei ich noch nicht ganz sicher bin ist der Zeitpunkt an dem der Ballon am schnellsten sinkt. Also mir ist inwzischen bewusst, dass dieser Zeitpunkt kurz vor auftreffen des Ballons auf dem Boden ist. Wie kann ich dies jedoch beweisen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 Fr 04.10.2013 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, die Antwort hat doch angela.h.b. schon gegeben, das Minimum der 1. Ableitung zu berechnen, also die 2. Ableitung gleich Null setzen, hier ist aber nur der Rand zu betrachten, der Ballon kann ja nicht in einer "negativen" Höhe starten oder landen, [mm] 0=-0,5t^3+2t^2+t [/mm] also t=....
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:46 Sa 05.10.2013 | | Autor: | leroxxx |
Vielen Vielen Dank euch beiden! Habe jetzt alles verstanden. Wirklich eine sehr Große Hilfe! Danke!
Ein schönes Wochenende wünsche ich euch.
|
|
|
|
