Abl. Funktion mehrerer Veränd. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Warum ist $(f(x,y))' = [mm] f_{x}(x,y) [/mm] + [mm] f_{y}(x,y)*f(x,y)$ [/mm] ? |
Hallo!
In einem Dokument bin ich auf obige "Gleichung" gestoßen (Steht ganz unten im Bild). Es geht um die Herleitung des Runge-Kutta-Verfahrens, meiner Meinung nach werden aber an die Funktion f keine besonderen Bedingungen gestellt. Ich wollte nun fragen, warum man die Ableitung von f so wie oben schreiben kann? Ich dachte immer, bei mehreren Variablen müsste ein Gradient ran?
Vielen Dank für Eure Hilfe,
Stefan
Hier noch das Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:06 Di 19.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Du hast doch
$y'(x) = f(x,y)$
Genauer sollte man schreiben:
(+) $y'(x) = f(x,y(x))$.
Dann ist mit der Kettenregel und wegen (+)
$y''(x) = (f(x,y(x)))' = [mm] f_x(x,y(x))*1+f_y(x,(y(x))*y'(x) [/mm] = [mm] f_x(x,y(x))*1+f_y(x,(y(x))*f(x,y(x))$
[/mm]
FRED
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Hallo!
Danke, fred, für deine Antwort!
Angenommen, ich würde jetzt das Runge-Kutta-Verfahren für die 3. Stufe (also Taylor-Reihe bis [mm] h^{3}) [/mm] berechnen wollen, wäre es dann:
$y(x+h) = y(x) + h*y'(x) + [mm] \frac{h^{2}}{2!}*y''(x) [/mm] + [mm] \frac{h^{3}}{3!}*y'''(x) [/mm] + [mm] O(h^{4})$
[/mm]
$= y(x) + h*f + [mm] \frac{h^{2}}{2}*(f_{x}+f_{y}*f) [/mm] + [mm] \frac{h^{3}}{6}*((f_{xx} [/mm] + [mm] f_{xy}*f) [/mm] + [mm] (f_{yx} [/mm] + [mm] f_{yy}*f)*f [/mm] + [mm] f_{y}*(f_{x}+f_{y})) [/mm] + [mm] O(h^{4})$
[/mm]
$= y(x) + h*f + [mm] \frac{h^{2}}{2}*(f_{x}+f_{y}*f) [/mm] + [mm] \frac{h^{3}}{6}*(f_{xx}*f [/mm] + [mm] f_{xy}*f [/mm] + [mm] f_{yx}*f [/mm] + [mm] f_{yy}*f^{2} [/mm] + [mm] f_{y}*f_{x}+f_{y}^{2}) [/mm] + [mm] O(h^{4})$
[/mm]
Ist eigenlich "normalerweise" [mm] $f_{xy} [/mm] = [mm] f_{yx}$ [/mm] ?
Vielen Dank für eure Hilfe, Stefan.
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Hallo steppenhahn,
> Hallo!
>
> Danke, fred, für deine Antwort!
> Angenommen, ich würde jetzt das Runge-Kutta-Verfahren für
> die 3. Stufe (also Taylor-Reihe bis [mm]h^{3})[/mm] berechnen
> wollen, wäre es dann:
>
> [mm]y(x+h) = y(x) + h*y'(x) + \frac{h^{2}}{2!}*y''(x) + \frac{h^{3}}{3!}*y'''(x) + O(h^{4})[/mm]
>
> [mm]= y(x) + h*f + \frac{h^{2}}{2}*(f_{x}+f_{y}*f) + \frac{h^{3}}{6}*((f_{xx} + f_{xy}*f) + (f_{yx} + f_{yy}*f)*f + f_{y}*(f_{x}+f_{y})) + O(h^{4})[/mm]
Hier muß es heißen:
[mm]= y(x) + h*f + \frac{h^{2}}{2}*(f_{x}+f_{y}*f) + \frac{h^{3}}{6}*((f_{xx} + f_{xy}*f) + (f_{yx} + f_{yy}*f)*f + f_{y}*(f_{x}+f_{y}\red{*f})) + O(h^{4})[/mm]
>
> [mm]= y(x) + h*f + \frac{h^{2}}{2}*(f_{x}+f_{y}*f) + \frac{h^{3}}{6}*(f_{xx}*f + f_{xy}*f + f_{yx}*f + f_{yy}*f^{2} + f_{y}*f_{x}+f_{y}^{2}) + O(h^{4})[/mm]
>
> Ist eigenlich "normalerweise" [mm]f_{xy} = f_{yx}[/mm] ?
Ja, aber nur, wenn f stetig partiell differenzierbar ist.
>
> Vielen Dank für eure Hilfe, Stefan.
Gruß
MathePower
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Hallo Mathepower,
danke für deine Antwort!
Grüße, Stefan.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:21 Mi 20.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo steppenhahn,
>
> > Hallo!
> >
> > Danke, fred, für deine Antwort!
> > Angenommen, ich würde jetzt das Runge-Kutta-Verfahren
> für
> > die 3. Stufe (also Taylor-Reihe bis [mm]h^{3})[/mm] berechnen
> > wollen, wäre es dann:
> >
> > [mm]y(x+h) = y(x) + h*y'(x) + \frac{h^{2}}{2!}*y''(x) + \frac{h^{3}}{3!}*y'''(x) + O(h^{4})[/mm]
>
> >
> > [mm]= y(x) + h*f + \frac{h^{2}}{2}*(f_{x}+f_{y}*f) + \frac{h^{3}}{6}*((f_{xx} + f_{xy}*f) + (f_{yx} + f_{yy}*f)*f + f_{y}*(f_{x}+f_{y})) + O(h^{4})[/mm]
>
>
> Hier muß es heißen:
>
> [mm]= y(x) + h*f + \frac{h^{2}}{2}*(f_{x}+f_{y}*f) + \frac{h^{3}}{6}*((f_{xx} + f_{xy}*f) + (f_{yx} + f_{yy}*f)*f + f_{y}*(f_{x}+f_{y}\red{*f})) + O(h^{4})[/mm]
>
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> >
> > [mm]= y(x) + h*f + \frac{h^{2}}{2}*(f_{x}+f_{y}*f) + \frac{h^{3}}{6}*(f_{xx}*f + f_{xy}*f + f_{yx}*f + f_{yy}*f^{2} + f_{y}*f_{x}+f_{y}^{2}) + O(h^{4})[/mm]
>
> >
> > Ist eigenlich "normalerweise" [mm]f_{xy} = f_{yx}[/mm] ?
>
>
> Ja, aber nur, wenn f stetig partiell differenzierbar ist.
2 mal stetig partiell differenzierbar !!!! Satz von Schwarz.
FRED
>
>
> >
> > Vielen Dank für eure Hilfe, Stefan.
>
>
> Gruß
> MathePower
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Hallo!
> [mm]y''(x) = (f(x,y(x)))' = f_x(x,y(x))*1+f_y(x,(y(x))*y'(x) = f_x(x,y(x))*1+f_y(x,(y(x))*f(x,y(x))[/mm]
Ich bin wohl doch noch nicht so ganz dahinter gestiegen, was du hier gerechnet hast. Ich sehe, dass es eine Kettenregel ist, aber mich verwirrt das "," Komma in der Funktion. Wie lautet die Ableitungsregel für solche "Kommafunktionen"?
Ich bin nämlich jetzt an einer anderen Stelle beim Runge-Kutta-Verfahren-Konstruieren darauf gestoßen, eine Taylor-Reihenentwicklung von
[mm] $y_{1}(h) [/mm] = [mm] y_{0} [/mm] + [mm] h*\left[b_{1}*f(t_{0},y_{0}) + b_{2}*f(t_{0}+c_{2}*h,y_{0}+a_{21}*h*f(t_{0},y_{0})\right]$
[/mm]
in h um 0 machen zu müssen. (t ist aber auch eine "dynamische" Variable)
[mm] $y_{1}(0) [/mm] = [mm] y_{0}$
[/mm]
geht ja noch, aber wenn ich jetzt die erste Ableitung von [mm] y_{1} [/mm] bilden soll, siehts schon wieder schwarz aus. Irgendwie so (?):
[mm] $y_{1}'(h) [/mm] = [mm] \left[b_{1}*f(t_{0},y_{0}) + b_{2}*f(t_{0}+c_{2}*h,y_{0}+a_{21}*h*f(t_{0},y_{0})\right] [/mm] + [mm] h*\left[b_{2}*\left(f_{t}(t_{0}+c_{2}*h,y_{0}+a_{21}*h*f(t_{0},y_{0})) + f_{h}(t_{0}+c_{2}*h,y_{0}+a_{21}*h*f(t_{0},y_{0})*c_{2}\right)\right]$
[/mm]
Aber irgendwie stimmt das nicht damit überein, was das nächste Glied der Taylor-Reihe sein sollte:
[mm] $h^{2}*(b_{2}*c_{2}*f_{t} [/mm] + [mm] b_{2}*a_{21}*f*f_{y}$
[/mm]
Viele Grüße und danke für eure Hilfe,
Stefan.
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Hallo steppenhahn,
> Hallo!
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> > [mm]y''(x) = (f(x,y(x)))' = f_x(x,y(x))*1+f_y(x,(y(x))*y'(x) = f_x(x,y(x))*1+f_y(x,(y(x))*f(x,y(x))[/mm]
>
> Ich bin wohl doch noch nicht so ganz dahinter gestiegen,
> was du hier gerechnet hast. Ich sehe, dass es eine
> Kettenregel ist, aber mich verwirrt das "," Komma in der
> Funktion. Wie lautet die Ableitungsregel für solche
> "Kommafunktionen"?
Siehe dazu: ![[]](/images/popup.gif) Verallgemeinerte Kettenregel
> Ich bin nämlich jetzt an einer anderen Stelle beim
> Runge-Kutta-Verfahren-Konstruieren darauf gestoßen, eine
> Taylor-Reihenentwicklung von
>
> [mm]y_{1}(h) = y_{0} + h*\left[b_{1}*f(t_{0},y_{0}) + b_{2}*f(t_{0}+c_{2}*h,y_{0}+a_{21}*h*f(t_{0},y_{0})\right][/mm]
>
> in h um 0 machen zu müssen. (t ist aber auch eine
> "dynamische" Variable)
>
> [mm]y_{1}(0) = y_{0}[/mm]
>
> geht ja noch, aber wenn ich jetzt die erste Ableitung von
> [mm]y_{1}[/mm] bilden soll, siehts schon wieder schwarz aus.
> Irgendwie so (?):
>
> [mm]y_{1}'(h) = \left[b_{1}*f(t_{0},y_{0}) + b_{2}*f(t_{0}+c_{2}*h,y_{0}+a_{21}*h*f(t_{0},y_{0})\right] + h*\left[b_{2}*\left(f_{t}(t_{0}+c_{2}*h,y_{0}+a_{21}*h*f(t_{0},y_{0})) + f_{h}(t_{0}+c_{2}*h,y_{0}+a_{21}*h*f(t_{0},y_{0})*c_{2}\right)\right][/mm]
>
> Aber irgendwie stimmt das nicht damit überein, was das
> nächste Glied der Taylor-Reihe sein sollte:
>
> [mm]h^{2}*(b_{2}*c_{2}*f_{t} + b_{2}*a_{21}*f*f_{y}[/mm]
[mm]\left(1\right) \ y_{1}(h) = y_{0} + h*\left[b_{1}*f(t_{0},y_{0}) + b_{2}*f(t_{0}+c_{2}*h,y_{0}+a_{21}*h*f(t_{0},y_{0})\right][/mm]
Entwickle hier
[mm]f\left(t_{0}+c_{2}*h,y_{0}+a_{21}*h*f(t_{0},y_{0}\right))[/mm]
in eine Taylorreihe um [mm]\left(t_{0},y_{0\right)}[/mm]
und setzt das in die obige Formel (1) ein.
>
> Viele Grüße und danke für eure Hilfe,
> Stefan.
Gruß
MathePower
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Hallo!
Zunächst danke für den Link und die Antwort 
Ich hab jetzt nochmal den Ausschnitt aus dem Dokument kopiert:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Von was hängt denn das [mm] y_{1} [/mm] überhaupt ab? Nur von h?
> [mm]\left(1\right) \ y_{1}(h) = y_{0} + h*\left[b_{1}*f(t_{0},y_{0}) + b_{2}*f(t_{0}+c_{2}*h,y_{0}+a_{21}*h*f(t_{0},y_{0})\right][/mm]
>
> Entwickle hier
>
> [mm]f\left(t_{0}+c_{2}*h,y_{0}+a_{21}*h*f(t_{0},y_{0}\right))[/mm]
>
> in eine Taylorreihe um [mm]\left(t_{0},y_{0\right)}[/mm]
>
> und setzt das in die obige Formel (1) ein.
Aber wie kann ich denn die Funktion um [mm] (t_{0},y_{0}) [/mm] entwickeln? Hängt sie nicht nur von einer Variable h ab, wie kann ich dann dafür zweiwas einsetzen?
Irgendwas ist mir noch nicht ganz klar, ich hoffe das geht aus meinen Fragen hervor.
Viele Grüße und danke für eure Hilfe!
Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo steppenhahn,
> Hallo!
>
> Zunächst danke für den Link und die Antwort
> Ich hab jetzt nochmal den Ausschnitt aus dem Dokument
> kopiert:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Von was hängt denn das [mm]y_{1}[/mm] überhaupt ab? Nur von h?
>
Der Wert von [mm]y_{1}[/mm] hängt natürlich,
abgesehen von den Anfangswerten, nur von der Schrittweite h ab.
>
> > [mm]\left(1\right) \ y_{1}(h) = y_{0} + h*\left[b_{1}*f(t_{0},y_{0}) + b_{2}*f(t_{0}+c_{2}*h,y_{0}+a_{21}*h*f(t_{0},y_{0})\right][/mm]
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> >
> > Entwickle hier
> >
> > [mm]f\left(t_{0}+c_{2}*h,y_{0}+a_{21}*h*f(t_{0},y_{0}\right))[/mm]
> >
> > in eine Taylorreihe um [mm]\left(t_{0},y_{0\right)}[/mm]
> >
> > und setzt das in die obige Formel (1) ein.
>
> Aber wie kann ich denn die Funktion um [mm](t_{0},y_{0})[/mm]
> entwickeln? Hängt sie nicht nur von einer Variable h ab,
> wie kann ich dann dafür zweiwas einsetzen?
Nun, das f ist hier nach wie vor eine Funktion, die von t und y abhängt.
>
> Irgendwas ist mir noch nicht ganz klar, ich hoffe das geht
> aus meinen Fragen hervor.
>
> Viele Grüße und danke für eure Hilfe!
>
> Stefan.
Gruß
MathePower
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