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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 Fr 09.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo ich bins nochmal,
@Marc: Vielen Dank für deine Antworten
 ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
(A)Wie kann ich beweisen, dass die
Ordnung einer Zyklus gleich seiner Länge ist?
(B)Wie bestimme ich die Ordnung eines
Produktes zweier elementfremder Zyklen?
Vielleicht schreibe ich mal erst die Aufgabenstellung
an bevor ich meine Idee dazu schreibe:
Sei G eine Gruppe mit neutralem Element [mm]e[/mm]. Die Ordnung [mm]ord(g)[/mm]
eines Gruppenelements [mm]g \in G[/mm] ist definiert als das
kleinste [mm]m \in \IN[/mm] mit [mm]g^m=e[/mm], sofern ein solches
[mm]m[/mm] existiert; gibt es kein derartiges [mm]m[/mm], setzt man [mm]ord(g) = \infty [/mm].
(Dieser Fall tritt zum Beispiel für von 0 verschiedene Elemente von [mm](\IZ,+) [/mm]ein.)
zu (A): Also ich habe mir gedacht:
Die Ordnung der [mm]S_n[/mm] (Permutationsgruppe) möge endlich sein.
Dann ist [mm]\pi[/mm] ein endlicher Zyklus. Sei m die Anzahl der Elemente von [mm]\pi[/mm].
Dann ist nach Definition m dir Ordnung von [mm]\pi[/mm].
Sei k die kleinste positive ganze Zahl k mit [mm]\pi^k=e[/mm].
Dann ist zu zeigen, dass k=m ist:
[mm]"k\le m":[/mm]
Ich zeige, dass [mm] e = \pi^0(i), \pi^1(i),\pi^2(i), ... , \pi^(k-1)(i)[/mm] verschieden sind.
Annahme:
[mm] \pi^i = \pi^j [/mm] mit [mm] 0 \le i < j < k[/mm] , so wäre
[mm] \pi^(j-i) = \pi^j \cdot (\pi^i)^1 = e [/mm] mit [mm]j-k
Dies ergibt ein Widerspruch!
Also hat [mm]\pi[/mm] mindestens die verschiedenen Elemente
[mm]\pi^0,\pi^1,\pi^2, ... , \pi^(k-1)[/mm]; damit hat [mm]\pi[/mm]
mindestens k Elemente, also ist [mm]m \ge k [/mm]
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