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| Aufgabe | Gegeben sei folgende Funktion:
[mm] $f:x\mapsto\begin{cases} x^2 sin(\frac{1}{x}), & \mbox{falls} x \mbox{ ungleich 0 } \\ 0, & \mbox{falls} x \mbox{=0} \end{cases}$
[/mm]
Berechnen Sie f'(x) mithilfe des Differentialquotienten und zeigen Sie, dass f(x) überall differenzierbar ist. Wie groß ist f'(0)? |
Hallo Mathefreunde,
mein Problem ist einen Weg zu finden, wie ich das [mm] $sin(\frac{1}{x})$ [/mm] in einen anderen Ausdruck umformen kann. Mein Ansatz ist bisher die Herleitung von Produkt- und Kettenregel gewesen; jedoch ohne Erfolg.Ich weiß eben nicht, wie ich jenen Ausdruck sinvoll ersetzen kann.
Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe.
Liebe Grüße
Christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:16 Mo 30.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei folgende Funktion:
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> [mm]f:x\mapsto\begin{cases} x^2 sin(\frac{1}{x}), & \mbox{falls} x \mbox{ ungleich 0 } \\ 0, & \mbox{falls} x \mbox{=0} \end{cases}[/mm]
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> Berechnen Sie f'(x) mithilfe des Differentialquotienten und
> zeigen Sie, dass f(x) überall differenzierbar ist. Wie
> groß ist f'(0)?
> Hallo Mathefreunde,
>
> mein Problem ist einen Weg zu finden, wie ich das
> [mm]sin(\frac{1}{x})[/mm] in einen anderen Ausdruck umformen kann.
Wozu ??
> Mein Ansatz ist bisher die Herleitung von Produkt- und
> Kettenregel gewesen;
Ja, genau. Für x [mm] \ne [/mm] 0 differenziere $x^2sin(1/x)$ mit der Produkt- und Kettenregel.
Für x=0 schaue nach, was der Qoutient [mm] \bruch{f(x)-f(0)}{x-0 } [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0 treibt.
FRED
> jedoch ohne Erfolg.Ich weiß eben
> nicht, wie ich jenen Ausdruck sinvoll ersetzen kann.
>
> Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe.
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
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> > mein Problem ist einen Weg zu finden, wie ich das
> > [mm]sin(\frac{1}{x})[/mm] in einen anderen Ausdruck umformen kann.
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> Wozu ??
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> > Mein Ansatz ist bisher die Herleitung von Produkt- und
> > Kettenregel gewesen;
>
>
>
> Ja, genau. Für x [mm]\ne[/mm] 0 differenziere [mm]x^2sin(1/x)[/mm] mit der
> Produkt- und Kettenregel.
>
> Für x=0 schaue nach, was der Qoutient
> [mm]\bruch{f(x)-f(0)}{x-0 }[/mm] für x [mm]\to[/mm] 0 treibt.
>
>
>
> FRED
>
>
Hi Christoph,
wenn ich die Ketten- und Produktregel anwende, ist das nicht das Problem. Aber, wenn ich die Aufgabenstellung richtig verstanden habe, soll ich mittels des Differentialquotienten [mm] $(x^2 sin(\frac{1}{x}))'=2xsin(\frac{1}{x})-cos(\frac{1}{x})$ [/mm] herlieten. Dabei weiß ich nicht wie ich zum Beispiel auf den Kosinus komme. Deswegen habe ich nach einer Substitution für $sin [mm] (\frac{1}{x})$ [/mm] gefragt. Wie mache ich die Herleitung mit dem Differentialquotienten?
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo Christoph!
Bei der Herleitung mittels Differentialquotienten [mm] $\lim_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}$ [/mm] erhältst Du am Ende auch "nur" einen konkreten Zahlenwert und keinen Term mit einem x drin.
Hier also nicht verwirren lassen.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Roadrunner,
danke für deine Hilfe. Was ich mich immer noch frage ist, wie du darauf gekommen bist, dass [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0$ [/mm] ist.
Liebe Grüße
Christoph
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Mo 30.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib es konkret hin und zeig es dann!
Gruss leduart
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo leduart,
nach Funktionsvorschrift gilt, dass f(0)=0 ist. Daraus folgt: $\limes_{x\rightarrow 0} \frac{x^2 sin(\frac{1}{x})}{x}}= \limes_{x\rightarrow 0}x sin (\frac{1}{x})=0$ nach Einschnürungssatz. Es bleibt aber immer noch die Frage wie Roadrunner auf diese Form des Differentialquotienten gekommen ist. Wie kommt man auf $\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$?
Liebe Grüße
Christoph
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 Di 01.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo leduart,
>
> nach Funktionsvorschrift gilt, dass f(0)=0 ist. Daraus
> folgt: [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \frac{x^2 sin(\frac{1}{x})}{x}}= \limes_{x\rightarrow 0}x sin (\frac{1}{x})=0[/mm]
> nach Einschnürungssatz.
wo wird hier was eingeschnürt. versteh ich nicht.
> Es bleibt aber immer noch die
> Frage wie Roadrunner auf diese Form des
> Differentialquotienten gekommen ist. Wie kommt man auf
> [mm]\frac{f(x)-f(0)}{x-0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
? Das hast du doch eben selbst für die fkt f(x)=x^2 sin(\frac{1}{x})} f(0)=0 hingeschrieben?
Gruss leduart
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
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Hallo leduart und Christoph,
also vielleicht ist dir der Einschnürungsatz auch besser bekannt als Sandwich-Lemma.
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ [/mm] f(0)=0, da x=0 ist (siehe Funktionsvorschrift). Bleibt also nur noch [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=$\limes_{x\rightarrow 0}\frac{x^2 sin(\frac{1}{x})}{x}=\limes_{x\rightarrow 0}xsin(\frac{1}{x})=0$
[/mm]
Jetzt kommt der Einschnürungssatz:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}-1\le [/mm] sin [mm] (\frac{1}{x})\le 1\iff\limes_{x\rightarrow 0} -x\le [/mm] xsin [mm] (\frac{1}{x})\le [/mm] x$.
Bleibt aber meine Frage, wie man sich [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ [/mm] herleitet. Wie ist Roadrunner darauf gekommen?
Liebe Grüße
Christoph
PS.: @Christoph: Ich habe f(x) bereits mit der Produkt- und der Kettenregel hier abgeleitet (falls du das meintest). Es war mein 2. Beitreg hier, glaube ich.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Di 01.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu der Frage
wie man sich $ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] $ herleitet. Wie ist Roadrunner darauf gekommen?
die Rückfrage: wie ist bei dir f'(0) definiert?
da hatte auch fred schon -ohne antwort von dir- gefragt. Bitte lies posts genau und beantworte sie auch.
gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:30 Di 01.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo leduart,
>
> nach Funktionsvorschrift gilt, dass f(0)=0 ist. Daraus
> folgt: [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \frac{x^2 sin(\frac{1}{x})}{x}}= \limes_{x\rightarrow 0}x sin (\frac{1}{x})=0[/mm]
> nach Einschnürungssatz. Es bleibt aber immer noch die
> Frage wie Roadrunner auf diese Form des
> Differentialquotienten gekommen ist. Wie kommt man auf
> [mm]\frac{f(x)-f(0)}{x-0}[/mm]?
Wie habt Ihr denn die Ableitung definiert ?
FRED
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 Di 01.05.2012 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo!
> wie du darauf gekommen bist, dass [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0[/mm] ist.
Wann habe ich das wo behauptet?
Gruß vom
Roadrunner
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Sorry, es stimmt was du sagst, aber woher nimmst du diesen Differentialquotienten [mm] $\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ [/mm] her?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Di 01.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
könntest du jetzt bitte endlich unsere Frage beantworten wie ist f')0= definiert????
leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Mo 30.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum schreibst du nicht einfach wie verlangt den differentialquotienten hin und benutzt [mm] |sinx|\le [/mm] 1
sin(1(x) in was anderes umzuformen hilft dabei nicht.
Gruss leduart
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