Ableiten der Umkehrfunktion... < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f sei in [mm] x_{0} [/mm] differentierbar
und [mm] f^{-1} [/mm] sei stetig in [mm] x_{0}
[/mm]
Dann folgt daraus: [mm] \bruch{d(f^{-1})}{df} [/mm] = [mm] \bruch{1}{f'(x_{o})} [/mm] |
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich ahbe da mal eine Frage zu dieser Definition:
Und zwar habe ich mir mal als Beispiel die folgende Funktion genommen: f(x)= [mm] \bruch{1}{x^{2}}
[/mm]
Die Umkehrfunktion lautet:
[mm] f^{-1}= \bruch{1}{ \wurzel{x}}
[/mm]
Wenn ich letzter ableite komme ich zu folgenden:
- [mm] \bruch{1}{2*x^{ \bruch{3}{2}}}
[/mm]
Wenn ich jetzt per Def die Umkehrfuntion bilde, bze den Bruch umkehre komme ich nicht zu der Ableitung, die mir [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] eigentlich liefern sollte.
Habe ich was falsch gemacht, oder habe cih die Def falsch abgeschrieben?!?
Achso wegen der stetigkeit:
Mir ist bewusst, dass die Funktionen beide nicht stetig sind, aber wenn ich nur den positiven Bereich betrachte, müsste das ja eigentl. gehen, oder liegt hier der Fehler?
Gruss Mattes
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Dein Fehler liegt schon in der Aufgabenstellung!
Der Ableitung-der-Umkerfunktion-Satz sagt:
Für [mm] f:D\to\IR [/mm] (D Intervall in [mm] \IR) [/mm] mit f auf D stetig und streng monoton gilt:
Ist f in [mm] x_0\in{}D [/mm] differenzierbar und [mm] f'(x_0)\not={}0, [/mm] so ist [mm] f^{-1} [/mm] im Punkt
[mm] y_0=f(x_0) [/mm] differenzierbar und es gilt:
[mm] f^{-1}(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}
[/mm]
Siehst du den Unterschied? Jetzt kannst du dein Beispiel nachrechnen.
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OK, also wenn ich jetzt hingehe und:
[mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] ableite kommt da ja: [mm] \bruch{-2}{x^{3}} [/mm] raus.
wenn ich dann [mm] \bruch{1}{f'} [/mm] rechne kommt da raus:
[mm] f^{-1} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{ \bruch{x}{-2}}
[/mm]
Das si aber irgendwie falsch oder nit?
Oder habe ich irgendwas falsch gemacht??
Danke und Gruss Mattes
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> OK, also wenn ich jetzt hingehe und:
> [mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm] ableite kommt da ja: [mm]\bruch{-2}{x^{3}}[/mm]
> raus.
>
> wenn ich dann [mm]\bruch{1}{f'}[/mm] rechne kommt da raus:
> [mm]f^{-1}[/mm] = [mm]\wurzel[3]{ \bruch{x}{-2}}[/mm]
>
> Das si aber irgendwie falsch oder nit?
>
> Oder habe ich irgendwas falsch gemacht??
Sorry, hab im Satz die Ableitung vergessen. Also
[mm] \frac{df^{-1}(y)}{dy}=\frac{1}{f'(x_0)}
[/mm]
Damit klappt es dann.
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