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Ableiten einer Exponentialf.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:39 Mi 22.10.2008
Autor: LK2010

Aufgabe
Gegeben ist eine Funktion [mm] f(x)=e^{x+1} [/mm]

Welcher Punkt hat vom Ursprung den kleinsten Abstand?

Hey!

Da es den Anschein macht, dass es eine Extremwertaufgabe ist, hab ich zuerst ein mal eine
[mm] Extremalbedingung:L(x)=\wurzel{(x2-x1)^{2}+(y2-y1)^{2}} [/mm]
(Es muss die Kürzeste Strecke sein.)
Dann die Nebenbedingungen: P1(0|0) und P2 [mm] (x|e^{x+1}) [/mm]
Darauf ergibt sich die Zielfunktion: [mm] L(x)=\wurzel{x^{2}+e^{2*x+2}} [/mm]
Dann muss man die Zielfunktion ableiten.
Aber genau da endet meine Kenntnis von Rechengesetzten!
Ich weiß, dass man schreiben kann : [mm] L(x)=(x^{2}+e^{2*x+2})^{1/2} [/mm]
Aber beim weitern Rechnen scheitere ich.
( Habe es wie folgt vereinfacht:
[mm] L(x)=x+e^{x+1} [/mm] --> Also alle Exponenten mal 1/2 genommen.
Das ist bestimmt sehr sehr falsch, aber ich kenn keinen anderen Weg.
Gibt es vielleicht noch einen einfacheren Weg an eine andere Zielgleichungen zu kommen? Wenn nicht, dann bräuchte ich mal Rat für die Ableitung..
Vielen vielen Dank

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Ableiten einer Exponentialf.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:06 Mi 22.10.2008
Autor: XPatrickX


> Gegeben ist eine Funktion [mm]f(x)=e^{x+1}[/mm]
>  
> Welcher Punkt hat vom Ursprung den kleinsten Abstand?
>  
> Hey!

Hallo!

>  
> Da es den Anschein macht, dass es eine Extremwertaufgabe
> ist, hab ich zuerst ein mal eine
> [mm]Extremalbedingung:L(x)=\wurzel{(x2-x1)^{2}+(y2-y1)^{2}}[/mm]
>  (Es muss die Kürzeste Strecke sein.)
>  Dann die Nebenbedingungen: P1(0|0) und P2 [mm](x|e^{x+1})[/mm]
>  Darauf ergibt sich die Zielfunktion:
> [mm]L(x)=\wurzel{x^{2}+e^{2*x+2}}[/mm]
>  Dann muss man die Zielfunktion ableiten. [daumenhoch]
>  Aber genau da endet meine Kenntnis von Rechengesetzten!
>  Ich weiß, dass man schreiben kann :
> [mm]L(x)=(x^{2}+e^{2*x+2})^{1/2}[/mm] [ok]
>  Aber beim weitern Rechnen scheitere ich.

Für das Ableiten benötigst du die Kettenregel, hier musst du sie sogar zwei Mal anwenden.
Kennst du die Regel? Kommst du mit diesen kleinen Tipp vielleicht sogar schon weiter?
Sonst meld dich einfach wieder.

> ( Habe es wie folgt vereinfacht:
> [mm]L(x)=x+e^{x+1}[/mm] --> Also alle Exponenten mal 1/2 genommen. [notok]
>  Das ist bestimmt sehr sehr falsch, aber ich kenn keinen
> anderen Weg.
>  Gibt es vielleicht noch einen einfacheren Weg an eine
> andere Zielgleichungen zu kommen? Wenn nicht, dann bräuchte
> ich mal Rat für die Ableitung..
> Vielen vielen Dank
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  

Gruß Patrick

Bezug
                
Bezug
Ableiten einer Exponentialf.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:27 Mi 22.10.2008
Autor: LK2010

Ja, das mit der Kettenregel, war auch eine Möglichkeit die probiert hatte.
Da kam dan folgendes raus:

[mm] F'(x)=\bruch{2*x+2*e^{2*x+2}}{2*\wurzel{x^{2}+e^{2*x+2}}} [/mm]

Das scheint aber auch flasch zu sein, weil wenn man F'(x)=0 kommt wieder nichts raus:

[mm] \bruch{2*x+2*e^{2*x+2}}{2*\wurzel{x^{2}+e^{2*x+2}}}=0 |*2*\wurzel{x^{2}+e^{2*x+2}} [/mm]

[mm] 2*x+2*e^{2*x+2}=0 [/mm]  | - 2*x

[mm] 2*e^{2*x+2}=-2*x [/mm]  | ln

--> nicht möglich!
(Ich weiß zu der Aufgabe, dass sie aber auf jeden Fall lösbar ist!)


Bezug
                        
Bezug
Ableiten einer Exponentialf.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:48 Mi 22.10.2008
Autor: Zwerglein

Hi, LK2010,

> Ja, das mit der Kettenregel, war auch eine Möglichkeit die
> probiert hatte.
>  Da kam dan folgendes raus:
>  
> [mm]F'(x)=\bruch{2*x+2*e^{2*x+2}}{2*\wurzel{x^{2}+e^{2*x+2}}}[/mm]
>  
> Das scheint aber auch flasch zu sein, weil wenn man F'(x)=0
> kommt wieder nichts raus:
>  
> [mm]\bruch{2*x+2*e^{2*x+2}}{2*\wurzel{x^{2}+e^{2*x+2}}}=0 |*2*\wurzel{x^{2}+e^{2*x+2}}[/mm]
>  
> [mm]2*x+2*e^{2*x+2}=0[/mm]  | - 2*x
>  
> [mm]2*e^{2*x+2}=-2*x[/mm]  | ln

Diese Gleichung ist richtig; exakt lösen kann man sie aber nur zufälliger Weise, weil man die Lösung erraten kann: x = -1.
Dass dies die einzige Lösung ist, kann man über das Steigungsverhalten der Funktion [mm] h(x)=2*x+2*e^{2*x+2} [/mm] beweisen: h ist nämlich echt monoton zunehmend!

mfG!
Zwerglein

Bezug
                                
Bezug
Ableiten einer Exponentialf.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:59 Mi 22.10.2008
Autor: LK2010

Vielen Dank!

Ja -1 macht Sinn...
Allerdings hab ich noch eine Frage, kommt das öfters bei Gleichungen vor,dass man einfach Raten muss?!

Bezug
                                        
Bezug
Ableiten einer Exponentialf.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:06 Mi 22.10.2008
Autor: Zwerglein

Hi, LK2010,

> Ja -1 macht Sinn...
>  Allerdings hab ich noch eine Frage, kommt das öfters bei
> Gleichungen vor,dass man einfach Raten muss?!

Sicher! Raten ist eine durchaus gängige mathematische "Methode", Lösungen zu finden.
Kommt ja schon in der 10. Klasse vor z.B. bei der Suche nach Nullstellen von Funktionen 3.Grades: Raten + Polynomdivision; erinnerst Du Dich?!

mfG!
Zwerglein


Bezug
                                                
Bezug
Ableiten einer Exponentialf.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Mi 22.10.2008
Autor: defjam123

Hey,

raten ist jedoch bei einer komplexen aufgabe ausser frage, da die wahrscheinlichkeit ziemlich niedrig ist, eine passende Nullstelle zu finden. Aus diesem Grund frage ich mich warum man in der Schule nicht beispielsweise Cardanische Formeln lernt mit dennen es möglich ist die nullstellen auszurechnen. Meine Lehrerin von der 10 Klasse wusste nicht mal bescheid, dass es sowas gibt.

Gruss

Bezug
                                                
Bezug
Ableiten einer Exponentialf.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:37 Mi 22.10.2008
Autor: LK2010

Ja, stimme...da hat man das natürlich auch gemacht...
Ich hatte da nur öfters nie so Glück ;)
Naja.. vielen Dank auf jeden Fall =)
LG

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