Ableiten eines Integral < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | F: [-1,1] [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \integral_{0}^{x}{\wurzel{1-t^{8}} dx}
[/mm]
Berechnen sie F' und F''. |
Um F' und F'' zu berechnen muss ich ja erst einmal herausfinden, welchen Wert [mm] \integral_{0}^{x}{\wurzel{1-t^{8}} dx} [/mm] annimmt.
Bei Bestimmung des Integrals habe ich Probleme. Man muss doch die Substitution verwenden oder?
Ich hab mir das so gedacht, aber ich denke, es ist falsch:
[mm] \integral_{0}^{x}{\wurzel{1-t^{8}} dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{x}{\wurzel{u} \bruch{du}{-8t^7}}
[/mm]
zur erklärung: [mm] \bruch{du}{dt} [/mm] = [mm] -8t^7 \Rightarrow [/mm] du = [mm] -8t^{7} [/mm] dt [mm] \Rightarrow [/mm] dt = [mm] \bruch{du}{-8t^7}
[/mm]
Aber dann ist da ja immer noch das t. da müsste doch ein u stehen.
was mache ich falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Mi 07.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> F: [-1,1] [mm]\to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto \integral_{0}^{x}{\wurzel{1-t^{8}} dx}[/mm]
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> Berechnen sie F' und F''.
> Um F' und F'' zu berechnen muss ich ja erst einmal
> herausfinden, welchen Wert
> [mm]\integral_{0}^{x}{\wurzel{1-t^{8}} dx}[/mm] annimmt.
>
> Bei Bestimmung des Integrals habe ich Probleme. Man muss
> doch die Substitution verwenden oder?
Nein ! Ist Dir der Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung nicht bekannt ?
SATZ: Sei $f:[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] stetig und F def. durch
$F(x)= [mm] \integral_{a}^{x}{f(t) dt}$ [/mm] für x [mm] \in [/mm] [a,b],
so ist F differenzierbar und $F'(x)=f(x)$ für für x [mm] \in [/mm] [a,b].
FRED
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> Ich hab mir das so gedacht, aber ich denke, es ist falsch:
>
> [mm]\integral_{0}^{x}{\wurzel{1-t^{8}} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{x}{\wurzel{u} \bruch{du}{-8t^7}}[/mm]
>
> zur erklärung: [mm]\bruch{du}{dt}[/mm] = [mm]-8t^7 \Rightarrow[/mm] du =
> [mm]-8t^{7}[/mm] dt [mm]\Rightarrow[/mm] dt = [mm]\bruch{du}{-8t^7}[/mm]
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> Aber dann ist da ja immer noch das t. da müsste doch ein u
> stehen.
> was mache ich falsch?
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Mi 07.07.2010 | | Autor: | Olga1234 |
ich sitz grad vor der gleichen aufgabe.
ableitungen stehen, aber wir sollen außerdem zeigen, dass
0,496 < F(0,5) < 0,5 mithilfe von ober und untersummen.
leider war ich letze woche krank und kann mit der definition von diesen begriffen nichts anfangen.
die wäre: [mm] S_{U} [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n} [/mm] f(xj−1)(xj − xj−1) und
[mm] S_{O} [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n} [/mm] f(xj)(xj − xj−1).
man braucht ja irgendwie eine geeignete zerlegung.
wie sähe die in diesem fall aus?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Mi 07.07.2010 | | Autor: | dormant |
Hallo!
> ich sitz grad vor der gleichen aufgabe.
> ableitungen stehen, aber wir sollen außerdem zeigen,
> dass
> 0,496 < F(0,5) < 0,5 mithilfe von ober und untersummen.
> leider war ich letze woche krank und kann mit der
> definition von diesen begriffen nichts anfangen.
>
> die wäre: [mm]S_{U}[/mm] = [mm]\summe_{j=1}^{n}[/mm] f(xj−1)(xj −
> xj−1) und
> [mm]S_{O}[/mm] = [mm]\summe_{j=1}^{n}[/mm] f(xj)(xj − xj−1).
Erst zusammentragen was alles so bedeutet.
* [mm] F(0,5)=\integral_{0}^{0,5}\wurzel{1-t^8}, [/mm] also Integral bis 0,5;
* [mm] f(x)=\wurzel{1-t^8}, [/mm] also der Integrand;
* Für ein n>0 und i zwischen 0 n ist [mm] x_i=\bruch{i*0,5}{n}. [/mm] Z.B. wenn n = 5 ist [mm] x_0=0, x_1=\bruch{1*0,5}{5}, [/mm] ..., [mm] x_5=\bruch{0,5*5}{5}=0,5, [/mm] also eine Aufteilung des Intervall [0, 0,5] in 5 gleichlangen (=äquidistanten) Stücke.
* Ober- und Untersumme erhältst du für ein n, indem du alles in die Definition einsetzst. Die Obersumme ist die Summe der n Rechtecke, die jeweils die Breite 0,5/n haben (also als Breite eben die einzelnen Stücke des Intervalls [0, 0,5] haben) und die Länge der Funktion ausgewertet an dem rechten Ende des Stücks. Untersumme ist das gleiche, nur die Funktion wird an dem linken Ende ausgewertet. Das ist zwei approximationen des Integralswerts.
Grüße,
dormant
> man braucht ja irgendwie eine geeignete zerlegung.
> wie sähe die in diesem fall aus?
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