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| Aufgabe | Wir betrachten die elliptischen Integrale
E(k)= [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{ \wurzel{1-k^{2}sin^{2}x}dx} [/mm] und [mm] F(k)=\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{ \bruch{1}{\wurzel{1-k^{2}sin^{2}x}}dx}
[/mm]
Berechnen SIe die Ableitungen E'(k) und F'(k) |
Hallo Leute,
Erstmal fänd ich interessant zu wissen ob man erst integrieren und dann ableiten muss oder erst ableitet und dann integrieren um zum Ergebniss zu gelangen.
ich habe erstmal mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung begonnen und bekam folgende Ableitungen.
E'(k)= [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{ \bruch{-2ksin^{2}x}{\wurzel{1-k^{2}sin^{2}x}}dx}
[/mm]
und [mm] F'(k)=\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{ \bruch{-2ksin^{2}x}{(1-k^{2}sin^{2}x)^{\bruch{3}{2}}}dx}
[/mm]
Da ich ja aber die Ableitungen berechnen soll nehme ich an das das Integral nun auch noch aufgelöst werden muss was mir allerdings Kopfschmerzen bereitet...
Eine geeigete Substitution ist mir auch noch nicht eingefallen deshalb wär ich für Hilfe sehr dankbar bzw. es wär wichtig zu wissen ob ich überhaupt auf den richtigen Weg bin.
Grüße, Seamus
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Hi,
> Wir betrachten die elliptischen Integrale
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> E(k)= [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{ \wurzel{1-k^{2}sin^{2}x}dx}[/mm]
> und [mm]F(k)=\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{ \bruch{1}{\wurzel{1-k^{2}sin^{2}x}}dx}[/mm]
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> Berechnen SIe die Ableitungen E'(k) und F'(k)
> Hallo Leute,
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> Erstmal fänd ich interessant zu wissen ob man erst
> integrieren und dann ableiten muss oder erst ableitet und
> dann integrieren um zum Ergebniss zu gelangen.
>
> ich habe erstmal mit dem Hauptsatz der Differential- und
> Integralrechnung begonnen und bekam folgende Ableitungen.
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> E'(k)= [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{ \bruch{-2ksin^{2}x}{\wurzel{1-k^{2}sin^{2}x}}dx}[/mm]
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> und [mm]F'(k)=\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{ \bruch{-2ksin^{2}x}{(1-k^{2}sin^{2}x)^{\bruch{3}{2}}}dx}[/mm]
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> Da ich ja aber die Ableitungen berechnen soll nehme ich an
> das das Integral nun auch noch aufgelöst werden muss was
> mir allerdings Kopfschmerzen bereitet...
> Eine geeigete Substitution ist mir auch noch nicht
> eingefallen deshalb wär ich für Hilfe sehr dankbar bzw.
> es wär wichtig zu wissen ob ich überhaupt auf den
> richtigen Weg bin.
>
das ist ja mal eine nette aufgabe!  Habe nach ein wenig erfolgloser knobelei bei wikipedia nachgeschaut. Und siehe ![[]](/images/popup.gif) da, dort findet man sogar die loesung. diese besteht allerdings darin, die ableitungen wiederum mit hilfe der elliptischen integrale auszudruecken. Einen expliziten ausdruck kannst du also lange suchen!
Und trivial ist die aufgabe auch dann nicht, wenn man die loesung weiss...
gruss
Matthias
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Danke erstmal für den Tipp! der hat mich ein wenig weiter gebracht aber auf den Ausdruck komme ich nicht!
hier meine Rechnung von E(k)
mit der Substitution t=sin x komme ich auf folgenden Ausdruck:
E(k)= [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{\wurzel{1-k^{2}t^{2}}}{\wurzel{1-t^{2}}} dx}
[/mm]
meine Ableitung sieht dann wie folgt aus:
E'(k)= [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{-2kt^{2}}{\wurzel{(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}} dx}
[/mm]
das sieht jedoch nicht im entferntesten nach der Lösung von Wikipedia aus.
Hab ich einen Fehler gemacht oder kann man den obigen Term irgendwie noch umformen?
Lg Seamus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:54 Do 03.12.2009 | | Autor: | seamus321 |
Ich bin jetzt nach langen überlegen selber auf die Antwort gekommen, weis aber nicht genau wie man die Frage als beantwortet markiert von daher meine Mitteilung an alle die mir vielleicht helfen wollten.
LG Seamus
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