Ableiten mit Quotientenregel < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ableitung mit Quotientenregel:
a) k(a)= [mm] a^{-(2+p)}
[/mm]
Ableitung mit Kettenregel:
b) f(x)= [mm] \wurzel{3x}
[/mm]
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Hallo MatheForum!
Ich hab Schwierigkeiten beim Ableiten dieser beiden Funktionen.
Denn meine Ableitung stimmt nicht mit der auf dem Lösungsblatt überein.
KAnn mir jemand helfen und meine Fehler entlarven?
Ich leg dann also mal los:
Die Ableitung bei a) muss mithilfe der Quotientenregel errechnet werden.
Die Quotientenregel besagt, dass bei f(x)= [mm] \bruch{u(x)}{v(x)} [/mm] gilt:
f'(x)= [mm] \bruch{u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x)}{v^{2}v(x)}
[/mm]
Also:
[mm] k(a)=\bruch{1}{a^{2+p}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a^{2}*a^{p}}
[/mm]
u(a)= 1
u(a)= 0
v(a)= [mm] a^{2}*a^{p}
[/mm]
v'(a)= [mm] 2a*p*a^{p-1}
[/mm]
k'(a)= [mm] \bruch{0-2a*p*a*^{p-1}}{a^{4}*a^{2p}} [/mm] = [mm] -\bruch{2a*p*a^{p}*a^{-1}}{a^{4}*a^{2p}}
[/mm]
gekürzt: [mm] -\bruch{2p}{a^{4}*a^{p}}
[/mm]
Und das ist falsch! Die richtige Kösung ist: [mm] -(2+p)a^{-(3+p)}
[/mm]
Was hab ich falsch gemacht?
Bei Aufgabe b) weiß ich auch nicht, was ich falsch mache.
Hier soll die Kettenregel angewendet werden.
Die Kettenregel besagt, dass bei f(x)= u(v(x)) gilt:
f'(x)= u'(v(x))*v'(x)
Also:
f(x)= [mm] \wurzel{3x}
[/mm]
f'(x)= [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{3x}}*3 [/mm] = [mm] \bruch{3}{2*\wurzel{3x}}
[/mm]
In der Lösung steht jedoch: [mm] \wurzel{\bruch{3}{4x}}
[/mm]
Und da weiß ich wirklich nicht, wie ich darauf kommen soll?!
Es wäre schön, wenn jemand Klarheit in die Sache bringen könnte ...
LG Eli
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Hi,
kommen wir mal zur Quotientenregel.
Schau dir hier nochmal dein v(a) an. Ich würd das hier nicht auseinanderziehen, sondern gesamt betrachten.
Du leitest ja nach a ab, also musst das p wie eine normale Zahl betrachten.
Also hast du dort stehen a hoch irgendeiner Zahl und die Regel kennst du ja:
[mm](a^n)' = n a^{n-1}[/mm]
Also erhälst du dann ja für v'
[mm]v'(a)=(2+p)*a^{(2+p)-1} [/mm]
...
ich denk damit kannst du das nochmal probieren.
Ich hätte das im übrigen nicht mit der Quotientenregel gemacht sondern direkt abgeleitet:
[mm]k(a)=a^{-2-p}[/mm]
[mm]k'(a)=(-2-p)*a^{-3-p}[/mm]
[mm]=-(2+p)*a^{-(3+p)}[/mm]
Bei deiner Kettenregel ist deine Lösung schon richtig, wenn du auf die Musterlösung kommen willst musst du das ganze nur noch ein wenig umformen. Wenn du das so nicht kannst, versuch mal dein Ergebnis zu quadrieren und dann wieder die Wurzel zu ziehen.
LG. Mareike
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Hallo,
vielen Dank für die Hilfe!
Ich bin gar nicht auf den Gedanken gekommen, die Hochzahl nicht auseinander zu ziehen. Mit dem von dir vorgeschlagenen Weg, komme ich auf die richtige Lösung! Danke!
(Natürlich wär's mit der direkten Ableitung noch einfacher gewesen, aber wir sollen die Quotientenregel üben).
Danke auch für den Tipp bei b) zu Quadrieren!
LG Eli
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