Ableiten von Brüchen/Wurzeln < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | [mm] f(x)=\bruch{2-4x}{(3+x^3)²} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] g(x)=\wurzel{(x-3x³)²} [/mm] |
2 Probleme an einem Abend:
Ich weiss nicht, wo ich anfangen soll, die Wurzel bereitet mir am meisten kopfzerbrechen
sry wegen formelding
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo d_pankarter40 und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Kannst du deine Frage bitte nochmal editieren, da ist keine Wurzel zu sehen
Wurzeln kannst du so eintippen: \wurzel{blabla} ergibt [mm] $\wurzel{blabla}$, [/mm] Brüche so: \bruch{3x^2+1}{34\wurzel{x}} ergibt [mm] $\bruch{3x^2+1}{34\wurzel{x}}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 25.09.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo und willkommen hier!
Ich sehe bei dir leider keine Wurzel. Am besten du schreibst die Funktionen nochmal mit dem Formeleditor (unter dem Eingabefenster) auf!
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Hi Teufel,
hehe, ich war schneller 
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 Do 25.09.2008 | | Autor: | Teufel |
Hiho, die nächste Runde wird an mich gehen!
So, nun zurück zum Thema. :P
Teufel
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Hi,
für Brüche brauchst du die Quotientenregel, also sei [mm] f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, [/mm] dann ist [mm] f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}
[/mm]
Kommt eine Wurzel in einer Funktion vor, so benötigst du die Kettenregel, sei nun $f(x)=u(v(x))$ dann ist $f'(x)=u'(v(x)) [mm] \cdot{} [/mm] v'(x)$.
Bei dir wäre dann [mm] u(x)=\wurzel(x) [/mm] und [mm] u'(x)=\frac{1}{2\wurzel(x)}.
[/mm]
So erstmal die abstrakte Theorie. Für eine genaue Antwort auf deine Frage, musst du diese erstmal überarbeiten, wie schon erwähnt wurde.
Grüße Patrick
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$ [mm] f(x)=\bruch{2-4x}{(3+x^3)²} [/mm] $
$ [mm] g(x)=\wurzel{(x-3x³)²} [/mm] $
in der theroie kann ichs ja [mm] /theoretisch\, [/mm] aber ich weiss nicht, wo ich anfangen soll, was ich als erstes ableite bzw was ich vorher noch ausrechne, hätte beim bruch mal angefangen, die polynomfunktion im nenner auszurechnen
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Hallo nochmal,
> [mm]f(x)=\bruch{2-4x}{(3+x^3)²}[/mm]
> [mm]g(x)=\wurzel{(x-3x³)²}[/mm]
>
> in der theroie kann ichs ja [mm]/theoretisch\,[/mm] aber ich weiss
> nicht, wo ich anfangen soll, was ich als erstes ableite bzw
> was ich vorher noch ausrechne, hätte beim bruch mal
> angefangen, die polynomfunktion im nenner auszurechnen
Ja, das kannst du durchaus machen. Ob du nun das Quadrat im Nenner mit der Kettenregel ableitest oder es zuerst ausrechnest und dann "normal" ableitest, ist einerlei, es sollte am Ende dasselbe herauskommen.
Die hier relevanten Ableitungsregeln (Kettenregel/Quotientenregel) hat dir Patrick ja netterweise nochmal aufgeschrieben.
Du kannst es peu à peu angehen, berechne die Ableitung des Zählers, die des Nenners und bastel alles am Ende zusammen gem. den Ableitungsregeln
(bei (b) dann Ableitung der äußeren Funktion, der inneren Funktion ..)
Also gehe es mal an, poste Ansätze und wir schauen drüber.
Vorrechnen werden wir's nicht, du willst es ja "einbrennen" ....
LG
schachuzipus
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Bleiben wir beim Bruch:
Wenn ich das so angehe, wie Patrick beschrieben hat, also mit u(x)/v(x), dann u = 2-4x und v = (3+x³)²
versuche ich nun, v auszurechnen, kommt [mm] 9+6x³+x^5 [/mm] raus
u'= -4
[mm] v'=5x^4+18x²
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{(-4)*(x^{5}+6x³+9)-(-4x+2)*(5x^{4}+18x²)}{(x^{5}+6x³+9)²}
[/mm]
Hab ichs soweit richtig?
wenn ich da jetzt alles ausmultiplizier, kommen mal 2 elendslange zeilen, die ich dann zusammenfassen und kürzen kann, ist das dann schon mein ergebnis oder bekomm ich den Bruch komplett weg?
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> Bleiben wir beim Bruch:
> Wenn ich das so angehe, wie Patrick beschrieben hat, also
> mit u(x)/v(x), dann u = 2-4x und v = (3+x³)²
>
> versuche ich nun, v auszurechnen, kommt [mm]9+6x³+x^5[/mm] raus
Es ist [mm] (x^3)^2=x^{2\cdot{} 3}=x^6
[/mm]
> u'= -4 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]v'=5x^4+18x²[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\bruch{(-4)*(x^{5}+6x³+9)-(-4x+2)*(5x^{4}+18x²)}{(x^{5}+6x³+9)²}[/mm]
>
> Hab ichs soweit richtig?
Bis auf den Fehler von der Potenz sieht alles soweit richtig aus.
>
> wenn ich da jetzt alles ausmultiplizier, kommen mal 2
> elendslange zeilen, die ich dann zusammenfassen und kürzen
> kann, ist das dann schon mein ergebnis oder bekomm ich den
> Bruch komplett weg?
Natürlich kannst du hier noch alles auszumultiplizieren und dann auch noch etwas zusammenfassen. Den Bruch wirst du jedoch nicht komplett wegbekommen.
Es macht übrigens Sinn den Nenner nicht auszumultiplizieren, dann wird die 2. Ableitung leichter, die man ja u.U. auch noch berechnen muss.
Grüße Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 Sa 27.09.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo,
> Bleiben wir beim Bruch:
> Wenn ich das so angehe, wie Patrick beschrieben hat, also
> mit u(x)/v(x), dann u = 2-4x und v = (3+x³)²
>
> versuche ich nun, v auszurechnen, kommt [mm]9+6x³+x^5[/mm] raus
Wie Patrick schon gesagt hat, ist $ [mm] v=9+6x^3+x^6 [/mm] $
Damit ändert sich auch die Ableitung
> u'= -4
> [mm]v'=5x^4+18x²[/mm]
$ v'=6 [mm] x^5 [/mm] + 18 x $
>
> [mm]f'(x)=\bruch{(-4)*(x^{5}+6x³+9)-(-4x+2)*(5x^{4}+18x²)}{(x^{5}+6x³+9)²}[/mm]
>
> Hab ichs soweit richtig?
Du hast die Quotientenregel korrekt angewendet, das Ergebnis ist aber wegen des Fehlers bei v' falsch.
Generell solltest Du aber die Klammern nicht ausmultiplizieren. Es ist dann viel schwerer zu erkennen, wo man kürzen kann.
Also besser:
$ [mm] v=(3+x^3)^2 [/mm] $
$v' = [mm] 2(3+x^3) \cdot [/mm] 3 [mm] x^2 [/mm] $
Wenn Du damit arbeitest, siehst Du, dass Du den Bruch durch $ [mm] (3+x^3) [/mm] $
kürzen kannst.
Gruß
Sigrid
>
> wenn ich da jetzt alles ausmultiplizier, kommen mal 2
> elendslange zeilen, die ich dann zusammenfassen und kürzen
> kann, ist das dann schon mein ergebnis oder bekomm ich den
> Bruch komplett weg?
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| Aufgabe | | [mm] g(x)=\wurzel{(x-3x³)x^{5}} [/mm] |
Ok, den Bruch kann ich mittlerweile (dank euch) einigermaßen Ableiten, aber bei der Wurzel weiss ich einfach nicht, wie ich anfangen soll, Wurzel bedeutet doch das gleiche, wie [mm] x^{\bruch{1}{2}}, [/mm] oder?
Sprich, [mm] g(x)=((x-3x³)x^{5})^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Soll ich jetzt das innere erst mal ausmultiplizieren, also mit [mm] g(x)=(x^{6}-3x^{8})^{\bruch{1}{2}} [/mm] weiterrechnen oder zuerst ableiten, und wenn ich ableiten muss, in welcher reihenfolge?
MfG Dimi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 Sa 27.09.2008 | | Autor: | Infinit |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Dimi,
ob Du mit den kompletten Auadrücken rechnest oder diese erst ausmultiplizierst, bleibt sich für das Ableiten gleich. Du hast dann, wie Du ja auch geschrieben hast, einen Ausdruck mit einer Potenz von 1/2. Was machst Du beim Ableiten? Die Potenz wird um Eins erniedrigt, die alte Potenz taucht als Vorfaktor auf. Daraus folgt doch, dass die Ableitung von
$$ f(z) = \wurzel{z} = z^{\bruch{1}{2} $$ sich als
$$ f^{'}(z) = \bruch{1}{2 \wurzel{z}} $$ ergibt. Dann die inneren Ableitungen nicht vergessen in Deinem Falle, die kommen in den Zähler des Ausdrucks.
Viele Grüße,
Infinit
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| Aufgabe | | [mm] g(x)=\wurzel{(x-3x³)x^{5}} [/mm] |
[mm] g(x)=\bruch{1}{2((x-3x³)x^{5})}
[/mm]
[mm] g(x)=\bruch{1}{2(x^{6}-3x^{8})}
[/mm]
[mm] g(x)=\bruch{1}{2x^{6}-6x^{8})}
[/mm]
u=1
u'=0
[mm] v=2x^{6}-6x^{8}
[/mm]
[mm] v'=12x{6}-48x^{7}
[/mm]
[mm] g'(x)=\bruch{-12x^{5}-48x^{7}}{2x^{12}-6x^{64}}
[/mm]
soweit richtig?
Gehts weiter? 
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> Hallo d_pankarter40,
>
> > [mm]g(x)=\wurzel{(x-3x³)x^{5}}[/mm]
> > [mm]g(x)=\bruch{1}{2((x-3x³)x^{5})}[/mm]
> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> [mm]g(x)=((x-3x³)x^{5})^\bruch{1}{2}[/mm] oder ausmultipliziert:
> [mm]g(x)=(x^6-3x^8)^\bruch{1}{2}[/mm]
> Darauf wendest du jetzt die  Potenzregel der
> Differentiation an und vergisst die Kettenregel in Innern
> nicht!
Kettenregel?
Wenn ichs vorher ausmultiplizier, brach ich doch keine Kettenregel, oder?
[mm]g(x)=(x^6-3x^8)^\bruch{1}{2}[/mm]
[mm] g'(x)=\bruch{1}{2}*(6x^5-24x^7) [/mm] oder wie?
MfG Dimi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Sa 27.09.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo dimi,
natürlich brauchst Du hier die Kettenregel, der Ausdruck unter der Wurzel ergibt ja als Ableitung sicher nicht einen Wert von Eins, wie ich schon in meiner Antwort bemerkte.
Beginne doch einfach mal, das Ganze sauber hinzuschreiben.
Für die Ableitung taucht die Wurzel im Nenner auf und dann kommt die Kettenregel ins Spiel.
VG,
Infinit
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Mal schauen, ob ichs richtig verstanden hab:
[mm] g=(6x^6-3x^8)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] h(x)=x^6-3x^8
[/mm]
[mm] t(x)=(x^6-3x^8)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] h'=6x^5-24x^7
[/mm]
[mm] t'=\bruch{1}{2}*(x^6-3x^8)^-{\bruch{1}{2}}
[/mm]
f'=h'*t'
f'= [mm] 6x^5-24x^7 [/mm] * [mm] \bruch{1}{2}*(x^3-3x^4)^-{\bruch{1}{2}}
[/mm]
f'= [mm] 6x^5-24x^7 [/mm] * [mm] \bruch{1}{2}*(x^-6-3x^8)
[/mm]
Frage: kann ich jetzt einfach den ersten Teil halbieren, also
[mm] 6x^5-24x^7 [/mm] * [mm] \bruch{1}{2}=3x^5-12x^7
[/mm]
oder muss ich mir da eine Klammer um
[mm] \bruch{1}{2}*(x^-6-3x^8)
[/mm]
vorstellen?
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Hallo,
bis zur Zeile:
[mm] f'(x)=(6x^{5}-24x^{7})*\bruch{1}{2}(x^{6}-3x^{8})^{-\bruch{1}{2}} [/mm]
sieht es gut aus, setze aber Klammern
jetzt überlege dir welche Bedeutung der negative Exponent [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] hat,
[mm] f'(x)=\bruch{6x^{5}-24x^{7}}{2*(x^{6}-3x^{8})^{\bruch{1}{2}}}
[/mm]
jetzt kannst du im Nenner wieder die Wurzel schreiben
Steffi
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[mm] g'(x)=\bruch{6x^5-24x^7}{2\wurzel{x^6-3x^8}} [/mm] kann ich dann eigentlich eh stehen lassen, da noch was zu drehen würd nichts bringen, oder?
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> [mm]g'(x)=\bruch{6x^5-24x^7}{2\wurzel{x^6-3x^8}}[/mm] kann ich dann
> eigentlich eh stehen lassen, da noch was zu drehen würd
> nichts bringen, oder?
Hallo,
na, auf jeden Fall würde ich oben die 2 ausklammern und kürzen.
Du kannst sogar [mm] 2x^5 [/mm] im Zähler ausklammern.
Unter der Wurzel kannst Du [mm] x^3 [/mm] ausklammern und dann teilweise die Wurzel ziehen.
Als nächstes: kürzen.
Gruß v. Angela
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Ok, dann sag ich mal Danke an alle, die mir geholfen haben - ohne euch wär ich wahrscheinlich verzweifelt
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> Wie Patrick schon gesagt hat, ist [mm]v=9+6x^3+x^6[/mm]
>
> Damit ändert sich auch die Ableitung
>
> > u'= -4
> > [mm]v'=5x^4+18x²[/mm]
>
> [mm]v'=6 x^5 + 18 x[/mm]
Warum wird aus [mm] 6x^3 [/mm] auf einmal 18x statt 18x², oder hast du dich einfach verschrieben
MfG Dimi
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Hallo d_pankarter40,
> > Wie Patrick schon gesagt hat, ist [mm]v=9+6x^3+x^6[/mm]
> >
> > Damit ändert sich auch die Ableitung
> >
> > > u'= -4
> > > [mm]v'=5x^4+18x²[/mm]
> >
> > [mm]v'=6 x^5 + 18 x[/mm]
> Warum wird aus [mm]6x^3[/mm] auf einmal 18x statt
> 18x², oder hast du dich einfach verschrieben
das ist offenbar ein Schreibfehler: [mm] (6x^3)'=18x^2 [/mm] ist korrekt.
Gruß informix
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Danke, hab mich schon gewundert
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