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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:24 So 04.01.2015
Autor: Ice-Man

Sorry das ich hier eine neue Frage öffne. Aber sonst wird mir das leider ein wenig zu unübersichtlich.

Aber ich muss bitte noch einmal nachfragen.

Ich habe gegeben.

[mm] f(x)=Lr^{2}*arccos(\bruch{x}{r})-Lx\wurzel{r^{2}-x^{2}} [/mm]

Diese Gleichung möchte ich nun ableiten.

[mm] f'(x)=Lr^{2}[-\bruch{1}{r(1-\bruch{x^{2}}{r^{2}})^\bruch{1}{2}}]-[L(r^{2}-x^{2})^\bruch{1}{2}+Lx\bruch{1}{2}(r^{2}-x^{2})^\bruch{-1}{2}(-2x)] [/mm]

Wäre das soweit korrekt?

Ich bin mir da absolut gar nicht sicher.

Schon einmal vielen Dank wenn mir jemand antworten würde.

        
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Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:59 So 04.01.2015
Autor: leduart

richtig
Gruß leduart

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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:11 So 04.01.2015
Autor: Ice-Man

Darf ich dich dann auch noch bitte fragen wie ich das "gekürzte Ergebnis"

[mm] f'(x)=-2L\wurzel{r^{2}-x^{2}} [/mm] erhalte?

Ich verstehe leider nicht wie ich das soweit "kürzen" kann.

Danke nochmal

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Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:26 So 04.01.2015
Autor: DieAcht

Hallo Ice-Man!


Schreibe alles aus, damit du ein Gefühl dafür bekommst. Es ist

      [mm] x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x} [/mm] und [mm] x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}. [/mm]

Dann richtig ausklammern.


Gruß
DieAcht

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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:07 So 04.01.2015
Autor: Ice-Man

Dan probiere ich das einfach mal,

[mm] f'(x)=Lr^{2}[-\bruch{1}{r(1-\bruch{x^{2}}{r^{2}})^{\bruch{1}{2}}}]-L(r^{2}-x^{2})^\bruch{1}{2}-Lx^{2}(r^{2}-x^{2})^\bruch{-1}{2} [/mm]

[mm] f'(x)=-\bruch{Lr}{(1-\bruch{x^{2}}{r^{2}})^{\bruch{1}{2}}}-L(r^{2}-x^{2})^\bruch{1}{2}-Lx^{2}(r^{2}-x^{2})^\bruch{-1}{2} [/mm]

Doch jetzt wüsste ich nicht mehr weiter da mich der "Klammerausdruck" im ersten Term absolut irritiert.
Könnte mir evtl. bitte jemand nur einen Tipp geben wie ich weiter ausklammern müsste?



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Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:19 So 04.01.2015
Autor: MathePower

Hallo Ice-Man,


> Dan probiere ich das einfach mal,
>  
> [mm]f'(x)=Lr^{2}[-\bruch{1}{r(1-\bruch{x^{2}}{r^{2}})^{\bruch{1}{2}}}]-L(r^{2}-x^{2})^\bruch{1}{2}-Lx^{2}(r^{2}-x^{2})^\bruch{-1}{2}[/mm]

>


Hier muss es lauten:

[mm]f'(x)=Lr^{2}[-\bruch{1}{r(1-\bruch{x^{2}}{r^{2}})^{\bruch{1}{2}}}]-L(r^{2}-x^{2})^\bruch{1}{2}\blue{+}Lx^{2}(r^{2}-x^{2})^\bruch{-1}{2}[/mm]


> [mm]f'(x)=-\bruch{Lr}{(1-\bruch{x^{2}}{r^{2}})^{\bruch{1}{2}}}-L(r^{2}-x^{2})^\bruch{1}{2}-Lx^{2}(r^{2}-x^{2})^\bruch{-1}{2}[/mm]


>  
> Doch jetzt wüsste ich nicht mehr weiter da mich der
> "Klammerausdruck" im ersten Term absolut irritiert.
> Könnte mir evtl. bitte jemand nur einen Tipp geben wie ich
> weiter ausklammern müsste?
>  


Zum Beispiel kannst Du   [mm]\bruch{1}{\[\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}}\]}[/mm] ausklammern.


Gruss
MathePower

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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:39 So 04.01.2015
Autor: Ice-Man

Ich bin mal ganz ehrlich, ich hätte das jetzt so geschrieben. Doch ich weis das dass absolut falsch ist. Nur ich weis nicht wie ich konkret vorgehen soll da mich besonders der erste Wurzelausdruck absolut irritiert.

[mm] f'(x)=\bruch{-Lr}{(1-\bruch{x^{2}}{r^{2}})^\bruch{1}{2}}-L(r^{2}-x^{2})^\bruch{1}{2}-Lx^{2}(r^{2}-x^{2})^\bruch{-1}{2} [/mm]

[mm] f'(x)=\bruch{1}{\wurzel{r^{2}-x^{2}}}[\bruch{Lr}{\wurzel{\bruch{1}{r^{2}-x^{2}}}-\wurzel{\bruch{x^{2}}{\wurzel{r^{2}-x^{2}}*r^{2}}}}-L(r^{2}-x^{2})-Lx^{2}] [/mm]

Das stimmt ja eigentlich nicht, aber ich weis halt leider nicht wie es richtig wird.

Und ganz davon abgesehen kann ich noch absolut gar nicht verstehen das gilt,

[mm] f'(x)=\bruch{-Lr}{(1-\bruch{x^{2}}{r^{2}})^\bruch{1}{2}}-L(r^{2}-x^{2})^\bruch{1}{2}-Lx^{2}(r^{2}-x^{2})^\bruch{-1}{2}=-2L\wurzel{r^{2}-x^{2}} [/mm]

Bezug
                                                        
Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:12 So 04.01.2015
Autor: Valerie20


> Ich bin mal ganz ehrlich, ich hätte das jetzt so
> geschrieben. Doch ich weis das dass absolut falsch ist. Nur
> ich weis nicht wie ich konkret vorgehen soll da mich
> besonders der erste Wurzelausdruck absolut irritiert.

>

> [mm]f'(x)=\bruch{-Lr}{(1-\bruch{x^{2}}{r^{2}})^\bruch{1}{2}}-L(r^{2}-x^{2})^\bruch{1}{2}-Lx^{2}(r^{2}-x^{2})^\bruch{-1}{2}[/mm]

>

> [mm]f'(x)=\bruch{1}{\wurzel{r^{2}-x^{2}}}[\bruch{Lr}{\wurzel{\bruch{1}{r^{2}-x^{2}}}-\wurzel{\bruch{x^{2}}{\wurzel{r^{2}-x^{2}}*r^{2}}}}-L(r^{2}-x^{2})-Lx^{2}][/mm]

>

Ich gehe bei meiner Ausführung von MathePowers Korrektur in dem vorigen Post aus:

[mm]f'(x)=\bruch{-Lr}{(1-\bruch{x^{2}}{r^{2}})^\bruch{1}{2}}-L(r^{2}-x^{2})^\bruch{1}{2}+Lx^{2}(r^{2}-x^{2})^\bruch{-1}{2}[/mm]

Zunächst behandeln wir den ersten Summanden:

[mm](1-\frac{x^2}{r^2})^{\frac{1}{2}}[/mm]

Wir klammern [mm]\frac{1}{r^2}[/mm] aus und erhalten:

[mm]f'(x)=\bruch{-Lr}{\frac{1}{r}(r^2-x^2)^\bruch{1}{2}}-L(r^{2}-x^{2})^\bruch{1}{2}+Lx^{2}(r^{2}-x^{2})^\bruch{-1}{2}=\bruch{-Lr^2}{(r^2-x^2)^\bruch{1}{2}}-L(r^{2}-x^{2})^\bruch{1}{2}+Lx^{2}(r^{2}-x^{2})^\bruch{-1}{2}[/mm]


Nun Klammern wir aus dem kompletten Ausdruck folgenden Term aus: [mm]\frac{1}{(r^2-x^2)^{\frac{1}{2}}}[/mm]


[mm]f'(x)=\frac{1}{(r^2-x^2)^{\frac{1}{2}}}\cdot\huge(-Lr^2-L(r^{2}-x^{2})+Lx^{2}\huge)[/mm]

Ich habe nur Potenzgesetze angewandt.

Nun multiplizieren wir innerhalb der Klammer aus und vereinfachen:

[mm]f'(x)=\frac{1}{(r^2-x^2)^{\frac{1}{2}}}\cdot\huge(-Lr^2-Lr^{2}+Lx^{2}+Lx^{2}\huge)=\frac{1}{(r^2-x^2)^{\frac{1}{2}}}\cdot\huge(-2Lr^{2}+2Lx^{2}\huge)=\frac{-2L}{(r^2-x^2)^{\frac{1}{2}}}\cdot\huge(r^{2}-x^{2}\huge)[/mm]

Zum Schluss nun, musst du lediglich folgendes Potenzgesetz anwenden:

[mm] $\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}$ [/mm]

Das überlasse ich aber nun dir.

Valerie



 

Bezug
                                                                
Bezug
Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:26 So 04.01.2015
Autor: Valerie20

Habe gerade noch ein paar Sachen korrigiert. 
Leider hat mir der Formeleditor eine Formel zerschossen.

Der Beitrag ist nun aktuell und richtig.

Valerie

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Bezug
Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:54 So 04.01.2015
Autor: Ice-Man

Ok, ich danke dir wirklich sehr.
Das leuchtet mir jetzt ein und das verstehe ich auch.
Aber ganz ehrlich, da wäre ich allein niemals drauf gekommen das ich so vorzugehen habe.

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