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| Aufgabe | An welchen Stellen hat der Graph der Funktion f eine waagerechte Tangente?
f(x)= x³+x |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich würde gerne wissen, wie ich die oben genannte Funktion ableiten muss ...
Muss es heißen:
f(x) = x³+x
f'(x) = 2x²
Ist das richtig?
Danke und Gruß
Sarah
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Di 17.04.2007 | | Autor: | DommeV |
fast, du musst nur noch ne 1 dahinter schreiben. Die Ableitung von x ist 1
Also als Lösung kommt raus:
f'(x)=3x²+1
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ok, also rechne ich dann folgendermaßen um eine Antwort auf die oben gestellte Frage zu bekommen :
f(x) = x³+x
f'(x) = 3x² + 1
3x² + 1 = 0
3x² = 1 |:3
x² = 1/3
x = 0,6934
Stimmt das so?
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> ok, also rechne ich dann folgendermaßen um eine Antwort auf
> die oben gestellte Frage zu bekommen :
>
> f(x) = x³+x
> f'(x) = 3x² + 1
>
> 3x² + 1 = 0
Jetzt machst du einen Fehler:
> 3x² = 1 |:3
3x² = -1 |:3
> x² = -1/3
es existiert keine Lösung, der Graph hat keinen Hoch-oder Tiefpunkt.
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Wieso hat der Graph denn da keinen Hoch-/Tiefpunkt? Kann man nicht sagen, der Tiefpunkt ist - 1/3 ?
Und die Aufgabenstellung war ja "An welcher Stelle hat der Graph der Funktion f eine waagerechte Tangente?" ... Kann ich da dann als Antwort sagen, an der Stelle - 1/3 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Di 17.04.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Wieso hat der Graph denn da keinen Hoch-/Tiefpunkt? Kann
> man nicht sagen, der Tiefpunkt ist - 1/3 ?
>
> Und die Aufgabenstellung war ja "An welcher Stelle hat der
> Graph der Funktion f eine waagerechte Tangente?" ... Kann
> ich da dann als Antwort sagen, an der Stelle - 1/3 ?
Nein, denn kein x-Wert erfüllt die Bedingung
f'(x)=0, also hier
3x²+1=0
Es gibt also schlicht und ergreifend keine Stelle mit waagerechter Tangente.
(Es sei denn, du hast bei der Funktion f(x)=x³+x irgendwo ein - unterschlagen).
zur Verdeutlichung mal folgendes Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Marius
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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So, und ich hab noch ein weiteres Problem ...
Gleiche Aufgabenstellung, folgende Funktion:
f(x) = [mm] 3x^4 [/mm] - 4x³ - 6x² + 12x + 12
f'(x) = 12x³ - 12x² - 12x + 12
Wie rechne ich jetzt weiter?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:09 Di 17.04.2007 | | Autor: | Flomo |
jetzt musst Du diese Gleichung 0 setzen
f´(x)=0
Danach werden alle Nullstellen ausgerechnet. Die erste wirst Du raten müssen.
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Also :
f'(x) = 12 x³ - 12 x² - 12 x + 12
12x³ - 12x² - 12 x + 12 = 0
12 x³ - 12x² - 12x = -12
Nullstelle raten? Wie soll man sowas denn raten? Irgendeine beliebige Zahl nehmen? 20 z.B.?
Und wie rechnet man dann die anderen Nullstellen aus? Weiss ehrlich gesagt nicht, wie man Nullstellen ausrechnet.
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Hallo,
[mm] 0=12x^{3}-12x^{2}-12x+12 [/mm] Division durch 12
[mm] 0=x^{3}-x^{2}-x+1
[/mm]
jetzt mußt du raten , in diesem Fall die Teiler von 1, das sind 1 und -1, [mm] x_0_1=-1
[/mm]
mache jetzt Polynomdivision
[mm] (x^{3}-x^{2}-x+1):(x+1)=
[/mm]
dann erhälst du eine Gleichung 2. Grades, die kannst du über die p-q-Formel lösen, oder du siehst die 2. Lösung sofort,
Steffi
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Hey, ihr seid echt super. Da wäre ich nie von alleine drauf gekommen, aber ich glaub so langsam dämmert es *g*
Danke euch allen!!!
Gruß Sarah
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Hallo,
siehe meinen Post oben, Steffi
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So, dann also mal hier die ganze Aufgabe, wie ich sie jetzt hier stehen hab, wäre nett wenn nochmal einer nach Fehlern schaut:
f(x) = [mm] 3x^4 [/mm] - [mm] 4x^3 [/mm] - [mm] 6x^2 [/mm] + 12x + 12
f'(x) = [mm] 12x^3 [/mm] - [mm] 12x^2 [/mm] - 12x + 12
[mm] 12x^3 [/mm] - [mm] 12x^2 [/mm] - 12x + 12 = 0 |12
[mm] x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] - x + 1 = 0
Polynomdivision:
[mm] (x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] - x + 1) : (x + 1) = [mm] x^2 [/mm] - 2x +1
in pq-Formel einsetzen:
x1 = 1 + Wurzel aus 2
x2 = 1 - Wurzel aus 2
Mit der geratenen Nullstelle x3= -1
Aber wie lautet denn dann die Antwort auf die Frag an welcher Stelle der Graph der Funktion f eine waagerechte Tangente hat?
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Hallo,
[mm] x_1=-1
[/mm]
deine Polynomdivision ist korrekt,
[mm] 0=x^{2}-2x+1
[/mm]
p=-2
q=1
[mm] x_2_3=-\bruch{p}{2}\pm\wurzel{\bruch{p^{2}}{4}-q}
[/mm]
[mm] x_2_3=-\bruch{-2}{2}\pm\wurzel{\bruch{4}{4}-1}
[/mm]
[mm] x_2_3=1\pm\wurzel{0}
[/mm]
[mm] x_2_3=1\pm0
[/mm]
[mm] x_2=1
[/mm]
somit hast du zwei Nullstellen, also an zwei Stellen [mm] x_1=-1 [/mm] und [mm] x_2=1 [/mm] eine waagerechte Tangente, berechne jetzt
f(-1)=1, die Tangente lautet y=1 (blau gezeichnet)
f((1)=17, die Tangente lautet y=17 (grün gezeichnet)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Hoffe ich geh euch / dir nicht mit meinen vielen Fragen auf die Nerven.
Habe das nun mal versucht auf eine andere Funktion zu beziehen. Und zwar:
f(x)= [mm] x^4-8x^3+22x^2-24x+3
[/mm]
f'(x)= [mm] 4x^3-24x^2+44x+3 [/mm]
[mm] 4x^3-24x^2+44x+3 [/mm] = 0
Wenn ich da jetzt aber die Polynomdivision mit machen will [mm] [(4x^3-24x^2+44x+3) [/mm] : (44x+3)], funktioniert das irgendwie nicht?! Das sind ja auch so hohe zahlen?!
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Hallo,
beachte, deine 1. Ableitung stimmt nicht:
[mm] f'(x)=4x^{3}-24x^{2}+44x-24
[/mm]
Steffi
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Ok, dann kann ich durch 4 teilen ... Also:
[mm] x^3-6x^2+11x-6 [/mm] = 0
Aber auch dann ist die Polynomdivision [mm] [(x^3-6x^2+11x-6) [/mm] : (11x-6)] nicht möglich ... bzw. es kommt ein Rest raus... oder habe ich die Gleichung zur Polynomdivision verkehrt aufgestellt?
Achja, ich muss ja auch noch eine Nullstelle schätzen ... müsste doch wieder die Teiler von 1 also 1 und -1 sein, oder? Dann könnte ich als x1= -1 setzen ... also wie eben, oder?
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Hallo,
bevor du Polynomdivision machen kannst, mußt du die erste Nullstelle raten!!!! Du darfst NICHT durch einen Teil des Polynoms dividieren!!!!
dann (Polynom):(x - 1.Nullstelle)
jetzt steht in deinem Polynom die Zahl -6, die Teiler sind [mm] \pm1, \pm2, \pm3, \pm6, [/mm] fange der Reihe nach an zu raten,
Steffi
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Im Anhang findest du eine ausführliche Anleitung zur Nullstellenbestimmung.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: DOC) [nicht öffentlich]
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Dann müsste dass doch so aussehen:
[mm] (x^3 [/mm] - [mm] 6x^2 [/mm] + 11x - 6) : (x - 1) = [mm] x^2 [/mm] - 5x + 6
Oder?
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Hallo Kampfkruemel!
> Dann müsste dass doch so aussehen:
>
> [mm](x^3[/mm] - [mm]6x^2[/mm] + 11x - 6) : (x - 1) = [mm]x^2[/mm] - 5x + 6
>
> Oder?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Okay, dann bitte nocheinmal nach Fehlern schauen (wenn ihr so lieb seit ;) ):
f(x) = [mm] x^4-8x^3+22x^2-24x+3
[/mm]
f'(x) = [mm] 4x^3-24x^2+44x-24 [/mm]
[mm] 4x^3-24x^2+44x-24 [/mm] = 0 |:4
[mm] x^3-6x^2+11x-6 [/mm] ) 0
[mm] x_1= [/mm] -1
Polynomdivision:
[mm] (x^3-6x^2+11x-6) [/mm] : (x-1) = [mm] x^2-5x+6
[/mm]
Einsetzen in pq-Formel:
[mm] x^2-5x+6
[/mm]
p = -5
q = 6
x_23 = [mm] -\{-5}{2} $\pm$ \wurzel{\bruch{5^2}{4}-6}
[/mm]
x_23 = 2,5 [mm] $\pm$ [/mm] 0,5
[mm] x_2 [/mm] = 3
[mm] x_3 [/mm] = 2
So, wenn ich das richtig deute, gibt es nun also nur eine Tangente die waagerecht an dem Graph liegt [mm] (x_1 [/mm] = -1) ... richtig? *hoff*
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letzte Frage, versprochen. Danach werde ich nur noch die Aufgaben reinstellen, damit jemand mal ein Auge drauf wirft.
f(x) = [mm] x^2+3x+1
[/mm]
f'8x) = 2x+4
Muss dass hier in der Ableitung 2x+4 heißen? Also zählt das x als 1? Oder doch nur 2x+3?
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> letzte Frage, versprochen. Danach werde ich nur noch die
> Aufgaben reinstellen, damit jemand mal ein Auge drauf
> wirft.
>
> f(x) = [mm]x^2+3x+1[/mm]
> f'8x) = 2x+4
>
Hey
So ist es falsch.
> Muss dass hier in der Ableitung 2x+4 heißen? Also zählt das
> x als 1? Oder doch nur 2x+3?
Das letzte stimmt jetzt.
Du musst alles einzeln ableiten:
[mm] x^2 [/mm] ergibt 2x
3x ergibt 3
1 tja, was passiert mit konstanten Zahlen? Richtig sie fallen weg.
Also f'(x)=2x+3
Gruß Patrick
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Aber warum zählt dann das x bei folgender Funktion als 1?
f(x) = [mm] x^3 [/mm] + x
f'(x) = [mm] 3x^2+1
[/mm]
Wann zählt das x denn dann als 1 und wann nicht? Immer nur, wenn es alleine steht?
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> Aber warum zählt dann das x bei folgender Funktion als 1?
>
> f(x) = [mm]x^3[/mm] + x
> f'(x) = [mm]3x^2+1[/mm]
>
[mm] f(x)=x^{\green{3}}+x^{\red{1}}
[/mm]
Fürs ableiten, die Potenz nach vorne schreiben und anschließend bei der Potenz 1 abziehen:
f'(x) = [mm] \green{3}x^{2}+\red{1}x^{0}
[/mm]
f'(x) = [mm] \green{3}x^{2}+\red{1} [/mm] (da [mm] x^0=1)
[/mm]
Aber:
[mm] f(x)=x^{\green{3}}+1
[/mm]
[mm] f(x)=x^{\green{3}}+1x^{\red{0}}
[/mm]
Ableitungen:
f'(x) = [mm] \green{3}x^{2}+\red{0}x^{-1}
[/mm]
f'(x) = [mm] \green{3}x^{2}
[/mm]
> Wann zählt das x denn dann als 1 und wann nicht? Immer nur,
> wenn es alleine steht?
Also wenn du irgendetwas ableitest, wo ein x dabei steht, bleibt auch bei der Ableitung mindestens noch eine Zahl stehen.
Eine konstante Zahl am Ende (also z.B. ....+3) fällt beim ableiten allerdings ganz weg.
Ich hoffe das war jetzt halbwegs verständlich.
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Ja super, ich hab es verstanden *kaum glaub*
Herzlichen Dank
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
[mm] x_1=1
[/mm]
