Ableitung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:28 Mo 17.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo,
angenommen ich habe eine Funktion f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR
[/mm]
f(x) = x falls x=0
f(x) = 1 falls [mm] x\not=0
[/mm]
ist dann die Ableitung
f'(x) = 1 falls x=0
f'(x) = 0 falls [mm] x\not=0
[/mm]
Oder darf man f(x) gar nicht so definieren, da man ja an sich auch um f(x) = x falls x=0 zu erreichen, f(x) = 0 falls x=0 schreiben könnte?
Mein Ziel ist eine Funktion f(x) zu finden, die die Bedingung
f'(x) = 1 falls x=0
f'(x) = 0 falls [mm] x\not=0
[/mm]
erfüllt.
Liebe Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 Mo 17.09.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
du hast natürlich recht, daß die Definition
f(x) = [mm] \begin{cases} 0 &\text{falls} x = 0 \\ 1 &\text{sonst} \end{cases}
[/mm]
schöner ist, weil klarer. Das heißt aber nicht, daß eine Definition wie oben von dir angegeben verboten wäre.
Mach dir bitte klar, was die Ableitung einer Funktion an einer Stelle [mm] $x_0$ [/mm] eigentlich ist: Der Grenzwert der Steigung, die du bekommst, wenn du weitere Punkte von links und von rechts auf dem Graphen der Funktion unendlich nahe an die Stelle ,,heranschiebst''.
Du suchst also eine Funktion, die überall konstant ist und nur in einem Punkt, nämlich an der Stelle 0 eine Steigung von 1 hat. Das geht leider nicht. Eine solche Funktion kann es nicht geben
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Hallo!
Naja, es gibt schon gewisse Möglichkeiten:
Prinzipiell ist das mathematisch erstmal nicht so einfach möglich, allerdings gibt es auch Konstrukte, die sowas ähnliches machen:
Zum einen wäre da die ![[]](/images/popup.gif) Heaviside-Funktion, das wäre letztendlich nur eine Stufe
[mm] $\Theta(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\le0 \\ 1, & \mbox{für } x >0 \end{cases}$, [/mm]
wenn da nicht noch was besonderes käme. Die Ableitung ist die Diracsche Deltafunktion, für die gilt:
[mm] $\delta(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \neq 0 \\ \infty, & \mbox{für } x =0 \end{cases}$
[/mm]
Integrierst du über einen Bereich, der x=0 enthält, ist das Ergebnis 1, sonst 0.
Vielleicht hilft das irgendwie?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:37 Mo 17.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
> Die Ableitung ist
> die
> Diracsche Deltafunktion,
> für die gilt:
>
> [mm]\delta(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \neq 0 \\ \infty, & \mbox{für } x =0 \end{cases}[/mm]
>
>
> Integrierst du über einen Bereich, der x=0 enthält, ist das
> Ergebnis 1, sonst 0.
Nur ist das keine Funktion, sondern eine Distribution (auch verallgemeinerte Funktion genannt).
Leider sind die Physiker nicht von dieser falschen Definition abzubringen: Man kann zwar
[mm]\delta(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \neq 0 \\ \infty, & \mbox{für } x =0 \end{cases}[/mm]
definieren, das Integral einer solchen Funktion ist aber 0.
Dieser naive Zugang ist die Folge einer fehlerhaften Vertauschung von Grenzwerten.
(Ich weiß, dass die Physiker das immer falsch definieren, seit Dirac es so eingeführt hat. Das ändert nix daran, dass es falsch ist. Zum Glück rechnen sie richtig damit )
Ich glaube auch nicht, dass dies das ursprüngliche Problem löst: die vorgegebene Ableitung ist ja eine definierte und beschränkte Funktion.
Viele Grüße
Rainer
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