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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 So 11.11.2007 | | Autor: | Tanja87 |
| Aufgabe | ich benötige von dieser Gleichung die erste sowie die zweite Ableitung:
[mm] x^3/(x-2)^2 [/mm] |
bis jetzt bin ich soweit:
[mm] x^3*(x-2)^-2
[/mm]
komme jetzt nicht mehr weiter!
bitte um hilfe!
lg
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Hallo.
Dann kennst du doch bestimmt noch die Produktregel und Kettenregel. Versuch das mal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 So 11.11.2007 | | Autor: | Tanja87 |
Ok, also... Könnt ihr mir das korregiern wenns falsch ist?
3x²*(-2)*(x-2)^-3
Danke sehr!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 So 11.11.2007 | | Autor: | Kueken |
Die Produktregel lautet: u'v + uv'
Dann wäre u= [mm] x^3
[/mm]
[mm] u'=3x^2
[/mm]
v= (x-2)^(-2)
und v'= (-2)(x-2)^(-3)
Die Ableitungen von dir stimmen zwar, jedes einzelne für sich. Aber wenn du die Sachen in die Produktregel einsetzt ist die gesamte Ableitung der Funktion eine andere.
Du könntest auch mit der Quotientenregel arbeiten:
[mm] (u'v-uv')/(v^2)
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 So 11.11.2007 | | Autor: | Tanja87 |
Sooo also wenn ich jetzt weiterrechne... Stimmt das bis hierhin?
Ich tu mich jetzt so schwer dass ich hier auf ein gescheites ergebnis komme! Ich möchte nämlich gerne die Extremwerte ausrechnen ...
3x² * (x-2)^-2 + x³ * (-2)*(x-2)^-3
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Hallo, so stimmt es, schreibe es etwas schöner auf:
[mm] f'(x)=\bruch{3x^{2}}{(x-2)^{2}}-\bruch{2x^{3}}{(x-2)^{3}}
[/mm]
jetzt erweitere den 1. Bruch mit (x-2), dann kannst du alles auf einen Bruchstrich schreiben, ein Bruch wird zu Null, wenn der Zähler gleich Null ist,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Tanja87 |
Hi!
Ja genau hier scheiterts eben... ich weiß echt nicht wie ich da weiterrechne ... wie ich das mit den Brüchen hinbekomme... Wär echt nett wenn ihr mir hier das rechnen könntet...
Weil ich hab die Lösung von der Rechnung aber komm net hin ... Der Tiefpunkt wäre mit (6/13.5) angegeben ...
Vielen Dank für eure Mühe!
mfg
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Hallo Tanja!
Die nächsten Schritte hat Dir Steffi doch schon genannt ...
$$ f'(x) \ = \ [mm] \bruch{3x^{2}}{(x-2)^{2}}-\bruch{2x^{3}}{(x-2)^{3}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3x^{2}*(x-2)}{(x-2)^{3}}-\bruch{2x^{3}}{(x-2)^{3}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3x^{2}*(x-2)-2x^{3}}{(x-2)^{3}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3x^{3}-6x^2-2x^{3}}{(x-2)^{3}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^{3}-6x^2}{(x-2)^{3}}$$
[/mm]
Um nun die Nullstellen dieses Bruches zu ermitteln, brauchst Du nun lediglich den Zähler gleich Null setzen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:54 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Tanja87 |
Ja also danke für die Antwort. Ich hoffe ich ärgere euch nicht mit allzu dummen fragen...
Das is es jetz was ich nicht so genau verstehe... Das erweitern des ersten Bruches mit (x-2)
--> Wie komm ich jetz drauf dass ich das mit (x-2) erweitere bzw was gibt mir das Recht dazu (ich hoff das sin nicht allzu blöde fragen aber ich bin wirklich keine mathe leuchte)
--> erweitere ich hier Zähler und Nenner des ersten Bruchs? Steht deshalb im Nenner (x-2)³ weil (x-2) * (x-2)² eben (x-2)³ ergibt?
Vielen Dank!
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Hallo Tanja87,
> Ja also danke für die Antwort. Ich hoffe ich ärgere euch
> nicht mit allzu dummen fragen...
>
>
> Das is es jetz was ich nicht so genau verstehe... Das
> erweitern des ersten Bruches mit (x-2)
$ f'(x) \ = \ [mm] \bruch{3x^{2}}{(x-2)^{2}}-\bruch{2x^{3}}{(x-2)^{3}} \underbrace{=}_{\text{auf den Hauptnenner bringen}} \bruch{3x^{2}\cdot{}(x-2)}{(x-2)^{3}}-\bruch{2x^{3}}{(x-2)^{3}} [/mm] \ = [mm] \$
[/mm]
Hauptnenner ist [mm] (x-2)^3, [/mm] darum musst du den ersten Bruch mit (x-2)  erweitern.
[mm] $\underbrace{=}_{\text{Brüche mit gleichem Nenner zusammenfassen}} \bruch{3x^{2}\cdot{}(x-2)-2x^{3}}{(x-2)^{3}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3x^{3}-6x^2-2x^{3}}{(x-2)^{3}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^{3}-6x^2}{(x-2)^{3}} [/mm] $
>
> --> Wie komm ich jetz drauf dass ich das mit (x-2)
> erweitere bzw was gibt mir das Recht dazu (ich hoff das sin
> nicht allzu blöde fragen aber ich bin wirklich keine mathe
> leuchte)
Du hast immer das "Recht", einen Bruch in seinem Aussehen (nicht in seinem Wert!) durch Erweitern oder Kürzen zu verändern!
Durch Erweitern oder Kürzen ändert sich der Wert eines Bruches nämlich nicht.
>
> --> erweitere ich hier Zähler und Nenner des ersten Bruchs?
> Steht deshalb im Nenner (x-2)³ weil (x-2) * (x-2)² eben
> (x-2)³ ergibt?
Du "erweiterst" den Bruch, indem du Zähler und Nenner mit derselben Zahl (demselben Term) multiplizierst!
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Tanja87 |
Ok, vielen Dank für all die Erläuterungen!
So jetzt hab ich also x³-6x² / (x-2)³
Jetzt will ich Hochpunkte ausrechnen !
Also setz ich das ganze jetzt "0"
Ergo bleibt doch über: (Weil der Nenner ja wegfällt da er mit 0 multipliziert wird)
x³ - 6x² = 0
Dann hab ich x² raus ... Und es steht
x² * (x-6)
Also hab ich den 6er als ersten Wert meines Extremwertes gefunden! Richtig so oder bin ich wieder falsch ? Laut Angabe stimmts halt aber hab ich richtig gerechnet?
Danke sehr!
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Hallo Tanja!
> x³ - 6x² = 0
>
> Dann hab ich x² raus ... Und es steht
>
> x² * (x-6)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig!
> Also hab ich den 6er als ersten Wert meines Extremwertes gefunden!
Auch richtig! Aber ...
1. musst Du nun noch mittels 2. Ableitung überprüfen, ob bzw. um was für ein Extremum es sich handelt.
2. musst Du auch noch den Wert [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ untersuchen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Tanja87 |
Ok, ich probiers mal mit der 2. Ableitung!
x³-6x² / (x-2)³ = (x³-6x²) * (x-2)^-3
Soweit dürfte es mal stimmen hoff ich...
Kann ich jetzt einfach nach u'v + v'u ableiten?
Also... Darf ich "x³-6x²" so behandeln wie (x³-6x) hoch "1" quasi?
(3x² - 12x) * (x-2)^-3 + (x³-6x²) * -3 * (x-2)^-4
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Tanja,
ich hab jetzt nicht den ganzen Strang durchgelesen, nur deine letzte Aufgabe - die ist richtig!
Alternativ hättest du die Ableitung natürlich auch mit der Quotientenregel bilden können, da sollte das gleiche rauskommen.
Viele Grüße,
Riley
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Tanja87 |
Naja wär aber cool wenn ihr mir sagen könnt ob ich bis hierhin richtig gerechnet habe :)
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Hallo, deine 2. Ableitung fast ist ok, schreibe die negativen Exponenten wieder mit positiven Exponenten unter den Bruchstrich:
[mm] f''(x)=\bruch{3x^{2}-12x}{(x-2)^{3}}-\bruch{3(x^{3}-6x^{2})}{(x-2)^{4}}
[/mm]
jetzt untersuche für x=6 die zweite Ableitung, setze als für x die 6 ein.
Noch ein Hinweis, in der 1. Ableitung steht im Zähler [mm] x^{3}-6x^{2}=x^{2}(x-6) [/mm] das erhälst du durch Ausklammern von [mm] x^{2}, [/mm] ein Produkt wird zu Null, wenn einer der Faktoren Null ist:
x=0
oder
x-6=0 also
x=6
du mußt also noch f''(0) untersuchen, ob kleiner Null oder größer Null, bei gleich Null liegt ein Wendepunkt vor,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Tanja87 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ui, also ich muss sagen das Forum ist echt super, hier wird einem wirklich geholfen! Ich kann mir denken dass man über meine Fragen sonst eher lachen kann...
also ich hab jetzt weiter gerechnet ich hoffe es stimmt!
3x²-12x / (x-2)³ - {2* (3x³-6x²) / (x-2)^4]
So, jetzt erweitere ich wieder den ersten Teil der Rechnung! Also mit (x-2)
Ergo:
[(3x²-12x)*(x-2)] / [(x-2)^4] - [3*(3x³-6x²) / (x-2)^4]
(3x²-12x)*(x-2) - (9x³-18x²) / (x-2)^4
= ( 3x³ - 12x² - 6x² + 24x - 9x³ +18x²) / (x-2)^4
Stimmt das bis hier hin? Zum Rechnen is es gut gegangen :)
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Hallo, du brauchst jetzt nicht erweitern, setze für x einfach die Zahl 6 ein, erhälst du einen Wert kleiner Null [mm] \Rightarrow [/mm] Maximum, erhälst du einen Wert größer Null [mm] \Rightarrow [/mm] Minimum,
du hast prinzipiell richtig gerechnet, leider hast du aber eine 3 zuviel, und einen Schreibfehler
der Zähler des 2. Bruches lautet [mm] 3(x^{3}-6x^{2})
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Tanja87 |
HMMM aber ist das nicht genau das was ich stehen hab oder irre ich mich da? Du meinst das der Zähler des zweiten Bruchs falsch ist?
[(3x²-12x)*(x-2)] / [mm] [(x-2)^4] [/mm] - [3*(3x³-6x²) / [mm] (x-2)^4] [/mm]
Stimmts nicht bis hier hin?
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Hallo der Faktor 3 vor [mm] x^{3} [/mm] im Zähler des zweiten Bruches darf nicht stehen, dort steht nur die Funktion u, du hast versehentlich einen Faktor 3 dazugemogelt, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Tanja87 |
Hm, also jetzt kenn ich mich nicht mehr aus... warum stimmt der 3er nicht?
Ausgang war jetzt: (x³-6x²) * (x-2)^-3
(3x²-12x)*(x-2)^-3 + (-3) * (x-2)^-4 * (x³-6x²)
ich rechne ja: u'v + v'u
und ich habe:
U: x³-5x²
u' : 3x² - 12x
v: (x-2)^-3
v': -3 * (x-2)^-4
Oder stimmt das jetzt ... Viel Dank!
MFG
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Hallo, so STIMMT ja die 2. Ableitung, du hattest vorhin aber einen Faktor 3 noch in der Klammer, ich schreibe die falsche 3 mal rot:
(3 [mm] x^{3}-6x^{2})
[/mm]
es heißt aber nur:
[mm] (x^{3}-6x^{2}) [/mm] der Faktor 3 steht vor der Klammer.
ist dir jetzt klar, was ich meine, eventuell ist dir die falsche (rote) 3 garnicht bewußt geworden, Tippfehler, kein Rechenfahler, jetzt klar(er), was ich meinte, schreibe aber noch die negativen Exponenten als positive Exponenten unter den Bruchstrich,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Tanja87 |
joo also ich denke es ist hier eher am Abtippen in den PC gelegen.
Ich probier jetzt grad die zweite Ableitung!
(x³-6x²) / (x-2)³ = (x³-6x²) * (x-2)^-3
(3x²-12x)*(x-2)^-3 + (-3) * (x-2)^-4 * (x³-6x²)
(3x²-12x) / (x-2)³ - [3*(x³-6x²) / (x-2)^-4]
So jetzt erweitern mit (x-2)
[(3x²-12x) * (x-2) - 3x³ +18x²] / [mm] (x-2)^4
[/mm]
(3x³+24x-3x³+18x²) / [mm] (x-2)^4
[/mm]
(24x+18x²) / [mm] (x-2)^4
[/mm]
Hmmm hab ich bis hierhin richtig gerechnet? Ich bräuchte den Wendepunkte...
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Hallo, der Anfang ist ok, aber:
[mm] (3x^{2}-12x)*(x-2) [/mm] hast du falsch ausmultipliziert,
jedes Glied der 1. Klammer wird mit jedem Glied der 2. Klammer multipliziert, ergibt 4 Terme, dann zusammenfassen, vergesse aber dann nicht den Zähler des zweiten Bruches,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Tanja87 |
Ohhhje alles klar hab ich falsch gemacht... gut .. also dann hab ich...
(3x³-12x²-6x²+24x-3x³+18x²) / [mm] (x-2)^4
[/mm]
Also... 24x / [mm] (x-2)^4
[/mm]
Stimmts so weit?
Jetzt bräuchte ich die Wendepunkte und der ist (0/0) ...
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Hallo,
2. Ableitung und Wendepunkt sind korrekt, Glückwunsch
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Tanja87 |
Ja cool... Nur... ich hab den WEndepunkt aus meiner Lösung... Könntet ihr mir genauer erleutern warum der jetzt 0/0 ist?
24x / [mm] (x-2)^4
[/mm]
Warum komm ich jetzt auf 0/0 ? WEil ich das ganze oben 0 setzen muss und dann 24x=0 überbleibt?
Ui, ich glabu jetzt haben wirs bald :)
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Hallo Tanja!
> 24x / [mm](x-2)^4[/mm]
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> Warum komm ich jetzt auf 0/0 ? WEil ich das ganze oben 0
> setzen muss und dann 24x=0 überbleibt?
Genau! Daraus erhalten wir [mm] $x_w [/mm] \ = \ 0$ . Der zweite "Null-Wert" entsteht durch das Einsetzen in die Ausgangsfunktionsgleichung:
[mm] $$y_w [/mm] \ = \ [mm] f(x_w) [/mm] \ = \ f(0) \ = \ [mm] \bruch{0^3}{(0-2)^2} [/mm] \ = \ 0$$
Gruß vom
Roadrunner
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