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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 So 20.01.2008 | | Autor: | bonczi |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Ableitungen folgender Funktionen:
(a) arctan [mm] (e^{x}) [/mm] - ln [mm] \wurzel{\bruch{e^{2x}}{e^{2x}+1}}
[/mm]
(b) arcsin ( [mm] \bruch{sin(a)sin(x)}{1-cos(a)cos(x)} [/mm] ) |
hallo leute;)
zur aufgabe:
also bei (a) habe ich f'(x)=0 herausbekommen.
aber bei (b) komme ich auf nichts sinnvolles. nur auf einen extremlangen term, der sich nicht mehr vereinfachen lässt. habe ich einen fehler gemacht? also mein ansatz zu (b):
( arcsin ( [mm] \bruch{sin(a)sin(x)}{1-cos(a)cos(x)} [/mm] ))' = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1 - (\bruch{sin(a)sin(x)}{1-cos(a)cos(x)})^{2}}} [/mm] * [mm] \bruch{sin(a)cos(x)(1-cos(a)cos(x)) - sin(a)sin(x)cos(a)sin(x)}{(1-cos(a)cos(x))^{2}} [/mm] so meine erste frage: ist das richtig?
nach vielen vereinfachungen komme ich dann auf
= [mm] \bruch{sin(a)cos(x) - sin(a)cos²(a)cos(x) - sin(a)cos(a)sin²(x)}{\wurzel{1 - 2cos(a)cos(x) + cos²(x) - sin²(a)sin²(x)} * (1 - cos(a)cos(x))}
[/mm]
meine 2. frage: kann das denn richtig sein?
wäre lieb, wenn sich mal jemand die mühe macht und nachrechnet. wäre sehr dankbar.
lg bonczi
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> Berechnen Sie die Ableitungen folgender Funktionen:
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> (a) arctan [mm](e^{x})[/mm] - ln [mm]\wurzel{\bruch{e^{2x}}{e^{2x}+1}}[/mm]
>
> (b) arcsin ( [mm]\bruch{sin(a)sin(x)}{1-cos(a)cos(x)}[/mm] )
> hallo leute;)
> zur aufgabe:
> also bei (a) habe ich f'(x)=0 herausbekommen.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Mein CAS erhält [mm] $f'(x)=\frac{\mathrm{e}^x-1}{\mathrm{e}^{2x}+1}$: [/mm] und wer wird einem CAS schon widersrpechen wollen...
> aber bei (b) komme ich auf nichts sinnvolles. nur auf
> einen extremlangen term, der sich nicht mehr vereinfachen
> lässt. habe ich einen fehler gemacht?
Ja, siehe unten.
> also mein ansatz zu
> (b):
>
> ( arcsin ( [mm]\bruch{sin(a)sin(x)}{1-cos(a)cos(x)}[/mm] ))' =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1 - (\bruch{sin(a)sin(x)}{1-cos(a)cos(x)})^{2}}}[/mm]
> * [mm]\bruch{sin(a)cos(x)(1-cos(a)cos(x))\red{ - sin(a)sin(x)cos(a)sin(x)}}{(1-cos(a)cos(x))^{2}}[/mm]
> so meine erste frage: ist das richtig?
Nein (und dies beantwortet auch Deine zweite Frage  ). Und zwar hast Du einen Vorzeichenfehler beim von mir rot markierten Term gemacht. Wenn Du statt dessen zwischen den Produkten ein [mm] $\red{+}$ [/mm] schreibst, dann lässt sich der Zähler dieses Bruches noch erheblich vereinfachen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 So 20.01.2008 | | Autor: | bonczi |
ich finde keinen vorzeichenfehler :(
wenn ich [mm] \bruch{sin(a)sin(x)}{1-cos(a)cos(x)} [/mm] nach der quotientenregel [mm] \bruch{f'g-fg'}{g²} [/mm] komme ich auf:
f: sin(a)sin(x) f': sin(a)cos(x)
g: 1-cos(a)cos(x) g': (-cos(a)) * (-sin(x)) = cos(a)sin(x)
[mm] (\bruch{sin(a)sin(x)}{1-cos(a)cos(x)})' [/mm] = sin(a)cos(x)(1-cos(a)cos(x)) - sin(a)sin(x)cos(a)sin(x) / (1-cos(a)cos(x))²
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> ich finde keinen vorzeichenfehler :(
Du hast recht: sorry, war etwas gar hastig von mir.
> wenn ich [mm]\bruch{sin(a)sin(x)}{1-cos(a)cos(x)}[/mm] nach der
> quotientenregel [mm]\bruch{f'g-fg'}{g²}[/mm] komme ich auf:
>
> f: sin(a)sin(x) f': sin(a)cos(x)
> g: 1-cos(a)cos(x) g': (-cos(a)) * (-sin(x)) =
> cos(a)sin(x)
>
> [mm](\bruch{sin(a)sin(x)}{1-cos(a)cos(x)})'[/mm] =
> sin(a)cos(x)(1-cos(a)cos(x)) - sin(a)sin(x)cos(a)sin(x) /
> (1-cos(a)cos(x))²
Aber der Zähler lässt sich doch noch etwas hübscher machen, nicht? Es ist doch
[mm]\sin a\cos x(1-\cos a\cos x)-\sin a\sin x\cdot \cos a\sin x=\sin a\cos x-\blue{\sin a\cos a}\red{\cos^2 x}-\blue{\sin a\cos a}\red{\sin^2 x}=\sin a\cos x-\blue{\sin a\cos a}=\sin a(\cos x-\cos a)[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 So 20.01.2008 | | Autor: | bonczi |
ja der zähler sieht doch jetzt schon mal supi aus, der nenner ist aber trotzdem schrecklich oder nich? meinste das ergebnis is jetzt richtig?
bei (a) bekomme ich aber immernoch 0 heraus. hast du dich bei deinem cas auch nicht vertippt? finde irgendwie keinen fehler. also bist du dir zu 100 % sicher, dass 0 falsch ist?
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> ja der zähler sieht doch jetzt schon mal supi aus, der
> nenner ist aber trotzdem schrecklich oder nich? meinste das
> ergebnis is jetzt richtig?
Du kannst eine ungefähre numerische Fehlerkontrolle machen, indem Du den Differenzenquotienten der gegebenen Funktion für kleines [mm] $\delta [/mm] x$ mit dem numerischen Wert Deiner Ableitung vergleichst. Für $a$ musst Du natürlich irgend eine komische Hausnummer verwenden.
>
> bei (a) bekomme ich aber immernoch 0 heraus. hast du dich
> bei deinem cas auch nicht vertippt?
Kontrollier's mal selbst, hier ein Screenshot meiner Eingabe bzw. der Ausgabe des CAS:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> finde irgendwie keinen
> fehler. also bist du dir zu 100 % sicher,
> dass 0 falsch ist?
Ich bin mir nie 100% sicher: man kann mir ja widersprechen - und tut es zum Glück auch immer wieder einmal
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 So 20.01.2008 | | Autor: | bonczi |
also zu (a) habe ich:
f'(x) = [mm] \bruch{e^{x}}{1+e^{2x}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{\bruch{e^{2x}}{e^{2x}+1}}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} (\bruch{e^{2x}}{e^{2x}+1})^{\bruch{-1}{2}} [/mm] * [mm] \bruch{2e^{2x}(e^{2x}+1)-e^{2x}(2e^{2x})}{(e^{2x}+1)²}
[/mm]
und nach vielen umformungen komme ich dann auf [mm] \bruch{e^{x}}{1+e^{2x}} [/mm] - [mm] \bruch{e^{2x}}{e^{3x}+e^{x}} [/mm] =0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 So 20.01.2008 | | Autor: | bonczi |
ah ok hab das selbe wie du bei (a) heraus ;) hab nur ein [mm] e^{x} [/mm] beim vereinfachen vergessen ;)
danke für deine hilfe! hast echt ahnung!
lg bonczi
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> also zu (a) habe ich:
>
> [mm]f'(x) = [mm] \bruch{e^{x}}{1+e^{2x}} [/mm] -
Dies scheint mir richtig zu sein.
>
> und nach vielen umformungen komme ich dann auf
> [mm]\bruch{e^{x}}{1+e^{2x}}[/mm] - [mm]\bruch{e^{2x}}{e^{3x}+e^{x}}[/mm] =0
Nee, ich komme tatsächlich auf die von meinem CAS angegebene Form. Ich beginne nochmals ganz von vorne:
[mm]\begin{array}{rcl}
\left(\arctan(e^x)-\ln\sqrt{\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}}\right)'
&=& \frac{1}{1+e^{2x}}\cdot e^x-\frac{1}{\sqrt{\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}}} \cdot\frac{1}{2\sqrt{\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}}}
\cdot \frac{2e^{2x}(e^{2x}+1)-e^{2x}\cdot 2e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}\\[.2cm]
&=& \frac{e^x}{1+e^{2x}}-\frac{e^{2x}}{e^{2x}(e^{2x}+1)}\\[.2cm]
&=& \frac{e^x\cdot e^{2x}-e^{2x}}{e^{2x}(e^{2x}-1}\\[.2cm]
&=& \frac{e^x-1}{e^{2x}+1}
\end{array}[/mm]
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