Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:14 Fr 20.06.2008 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | | Es soll die Funktion [mm] sin²(\bruch{x}{2}) [/mm] abgeleitet werden: |
Hallo Leute, ich komme leider nicht auf die Ableitung:
Ich denke es müsste so anfangen: [mm] 2*sin(\bruch{x}{2})*cos(\bruch{x}{2}). [/mm] Wie gehts hier denn weiter?
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Hallo Owen!
Da ich selber auf diesem Gebiet Neuling bin möchte ich keine Antwort schreiben. Aber ich glaube du hast bei deinem Vorschlag die innere Ableitung vergessen: [mm] f'(x)=0.5*2*sin(0.5x)*cos(0.5x) [/mm]
Gruß
Angelika
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Fr 20.06.2008 | | Autor: | Owen |
Hallo,
ja das stimmt, habe es vergessen. Danke für den Hinweis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:35 Fr 20.06.2008 | | Autor: | Steffi21 |
ist so korrekt, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:36 Fr 20.06.2008 | | Autor: | stowoda |
Und mit dem Theorem über doppelte Winkel: sin(2x)=2sin(x)cos(x),
kannst Du das noch vereinfachen in: [mm] \frac{1}{2}sin(x)
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Fr 20.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast hier fast alles richtig gemacht, mit der doppelten Anwendung der Kettenregel:
[mm] f(x)=\sin²(\bruch{x}{2})=(\sin(\bruch{x}{2})^{2}
[/mm]
Jetzt definiere mal folgende Teilfunktionen:
[mm] i(x)=\bruch{x}{2}
[/mm]
[mm] h(y)=\sin(y) (=\sin(h(x)))
[/mm]
und g(z)=z² (=(g(y))²)
Und jetzt leite mit der Kettenregel ab.
f(x)=g(h(i(x)))
Also f'(x)=g'(h(i(x)))*h'(i(x))
Für [h(i(x))]' brauchst du jetzt wieder die Kettenregel.
Also:
f'(x)=g'(h(i(x)))*[h(i(x))]'
[mm] =\green{g'(h(i(x))}*[\red{h'(i(x))}*\blue{i'(x)}]
[/mm]
Jetzt mal wieder die konkreten Funktionen eingesetzt
[mm] \green{2\sin(\bruch{x}{2}))}*\red{\cos(\bruch{x}{2})}*\blue{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] =\sin(\bruch{x}{2})*\cos(\bruch{x}{2})
[/mm]
Was ist denn das gegebene Ziel, die weitere Vereinfachung ginge nur noch durch irgendwelche Additionstheoreme.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:41 Fr 20.06.2008 | | Autor: | Owen |
Hallo, vielen Dank für eure Anworten. Jetzt habe ich es verstanden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:41 Fr 20.06.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo Marius, du kannst aber 2 und [mm] \bruch{1}{2} [/mm] in der letzten Zeile kürzen, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:43 Fr 20.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hast Recht, ich habe es verbessert
Marius
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Hallo Owen,
zuerst einmal mußt Du denn Cosinus auch noch nachdifferenzieren. Zur weiteren Vereinfachung verweise ich Dich mal auf folgende Seite:
http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie
Dort gibt es sicherlich die richtige Formel.
Viel Glück,
Hrungnir
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