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| Aufgabe | Bestimmen sie folgenden Grenzwert.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{tan(x)-x}{sin(x)-x}
[/mm]
Wenden Sie die Regeln von l'Hospital an, vermeiden aber die 3 fache Anwendung durch geschicktes Kürzen. |
Ich sehe nicht wirklich, wie ich hier kürzen soll.
Habe:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2tan(x)(1+tan^2(x))}{-sin(x)}
[/mm]
Kann mir jmd. einen Tipp geben?
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Hallo xyfreeman!
> Bestimmen sie folgenden Grenzwert.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{tan(x)-x}{sin(x)-x}[/mm]
Ich denke mal, dass es in der Aufgabe [mm] x\to\infty [/mm] heißt, oder?
> Habe:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2tan(x)(1+tan^2(x))}{-sin(x)}[/mm]
Was genau hast du hier gemacht?
> Ich sehe nicht wirklich, wie ich hier kürzen soll.
> Kann mir jmd. einen Tipp geben?
Hmm, man könnte evtl. den Tangens in [mm] \bruch{sin(x)}{cos(x)}. [/mm] Aber ich bin nicht sicher, ob das zum Ziel führt.
LG, Nadine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 Mi 20.08.2008 | | Autor: | xyfreeman |
Ja stimmt, müsste [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] heißen.
Der erste Schritt ist recht einfach, da wir die L'Hospital Methode verwenden, kann man einfach Zähler und Nenner unabhängig voneinander ableiten.
So komme ich auf mein Ergebnis.
Was ich erreichen will, sieht folgendermaßen aus:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2(1+tan^2(x))}{-cos(x)} [/mm] = -2
Nur fehlt mir der Zwischenschritt, was sehr wahrscheinlch daran liegen man, dass mir die vielfältigen Umformungsregeln für sin/tan/cos nicht klar sind :-/
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:53 Mi 20.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
Man kann die Ableitung des Tangens statt [mm] (1+tan^2(x)) [/mm] auch als [mm] \frac{1}{cos^2(x)} [/mm] schreiben.
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Hallo xyfreeman!
> Habe:
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2tan(x)(1+tan^2(x))}{-sin(x)}[/mm]
Du hast gerade in deiner Mitteilung geschrieben, dass du hier bereits einmal l'Hôpital angewendet hast, und Zähler und Nenner seperat abgeleitet hast.
Ich habe hier bei der Ableitung ein anderes Ergebnis:
[mm] (\bruch{tan(x)-x}{sin(x)-x})'=\bruch{(tan(x))'-(x)'}{(sin(x))'-(x)'}=\bruch{1+tan(x)^2-1}{cos(x)-1}=\bruch{tan^2(x)}{cos(x)-1}
[/mm]
[mm] (tan(x))'=1+tan^2(x)=\bruch{1}{cos^2(x)}
[/mm]
[mm](x)'=1[/mm]
[mm](sin(x))'=cos(x)[/mm]
LG, Nadine
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Ohja, entschuldige, ich habe zwei Mal abgeleitet.
also erst [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{(1+tan^2(x))-1}{cos(x)-1} [/mm] und anschließend ein zweites Mal zu [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2tan(x)(1+tan^2(x))}{-sin(x)}
[/mm]
Nach wie vor weis ich nicht so recht wie ich von hier durch Kürzung zu
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2(1+tan^2(x))}{-cos(x)} [/mm] = -2 gelangen soll.
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Würde es vielleicht gehen, wenn ich -sin(x) = [mm] \bruch{-cos(x)}{tan(x)} [/mm] umforme um sin(x) und tan(x) wegkürzen zu können? Bin mir nicht sicher, ob dieser Schritt legitim ist ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 Mi 20.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo xyfreeman!
Es geht ähnlich aber schon anders ...
[mm] $$\bruch{\blue{\tan(x)}}{\sin(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\blue{\bruch{\sin(x)}{\cos(x)}}}{\sin(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\sin(x)}{\cos(x)*\sin(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\cos(x)}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo!
> Ohja, entschuldige, ich habe zwei Mal abgeleitet.
>
> also erst [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{(1+tan^2(x))-1}{cos(x)-1}[/mm]
> und anschließend ein zweites Mal zu
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2tan(x)(1+tan^2(x))}{-sin(x)}[/mm]
Jetzt kannst du hier den Tangens in [mm] \bruch{sin}{cos} [/mm] umschreiben. Dann kannst du in Zähler und Nenner [mm] \sin [/mm] gegen [mm] \sin [/mm] kürzen und erhälst [mm] \bruch{2(1+tan^2(x))}{-cos(x)}.
[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2(1+tan^2(x))}{-cos(x)}[/mm]
> = -2 gelangen soll.
Den Schritt versteh ich irgendwie nicht. Damit da [mm]\ -2[/mm] rauskommt, müsste ja [mm] \cos(x) [/mm] für [mm] x\to\infty [/mm] gegen 1 und [mm] tan^2(x) [/mm] gegen [mm]\ 0[/mm] streben. Tun sie doch aber garnicht, oder?
Jetzt bin ich grad verunsichert... Ist das das "offizielle" Ergebnis?
LG, Nadine
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:57 Mi 20.08.2008 | | Autor: | xyfreeman |
Laut Aufgabenstellung strebt x gegen 0 (nicht Unendlich, ich übersehe bei den Formelcodes noch gerne die Details). Setzt man für [mm] (1+tan^2(x)) [/mm] einfach [mm] \bruch{1}{1+cos^2(x)} [/mm] ein, stimmt das Ergebnis. Danke euch allen für die Hilfe!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Mi 20.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo xyfreeman!
> Setzt man für [mm](1+tan^2(x))[/mm] einfach [mm]\bruch{1}{1+cos^2(x)}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Es gilt aber: [mm] $1+\tan^2(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\cos^2(x)}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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