Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Di 16.06.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | [mm] f(x):=arctan\sqrt{x^2-1} [/mm] mit [mm] x\in \mathbb{R},x^2>1.
[/mm]
Setze y=f(x). Dann gilt: (tan [mm] y)^2+1-x^2=0.
[/mm]
Benutze dies, um die Ableitung von f zu berechnen. |
Hallo,
also erstmal zu y=f(x). Auch wenn ich dies eigentlich garnicht weiter zeigen müsste, habe ich es trotzdem mal gemacht. Kommt mir aber irgendwie komisch vor.
[mm] y=arctan\sqrt{x^2-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \frac{y}{arctan}=\sqrt{x^2-1} [/mm] (Kann ich das machen? Dann schneide ich ja den arctan quasi von seinem Wert ab oder?
Wenn man das dann noch quadriert, folgt die Aussage.
Zur Ableitung:
Setze im Folgenden f(x)=g(x), damit man besser durchfindet.
Ich habe ja jetzt F(x,g(x))=0 gesetzt. Dann mit Kettenregel [mm] 0=\frac{\partial}{\partial x}F(x,g(x))=D_1F(x,g(x))\cdot x'+D_2(F(x,g(x))g'(x).
[/mm]
Nun ist mein F ja: [mm] F:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, [/mm] also vereinfachen sich meine Matrizen [mm] D_1 [/mm] und [mm] D_2 [/mm] doch, und ich komme zu: (nach umstellen nach g':)
[mm] \frac{\partial g}{\partial x}(x)=-(\frac{\partial F}{\partial y}(x,g(x))^{-1}+\frac{\partial F}{\partial x}(x,g(x))
[/mm]
Und dann berechne ich für y die Zahlen, so dass der erste Summand ungleich 0 ist, oder? Dann hätte ich meine Ableitung und vor allem auch gezeigt, dass g diffbar ist.
Stimmt das so in etwa?
Was ist, wenn ich für y mehrere Werte erhalte?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Di 16.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(x):=arctan\sqrt{x^2-1}[/mm] mit [mm]x\in \mathbb{R},x^2>1.[/mm]
> Setze
> y=f(x). Dann gilt: (tan [mm]y)^2+1-x^2=0.[/mm]
>
> Benutze dies, um die Ableitung von f zu berechnen.
> Hallo,
>
> also erstmal zu y=f(x). Auch wenn ich dies eigentlich
> garnicht weiter zeigen müsste, habe ich es trotzdem mal
> gemacht. Kommt mir aber irgendwie komisch vor.
>
> [mm]y=arctan\sqrt{x^2-1}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \frac{y}{arctan}=\sqrt{x^2-1}[/mm] (Kann ich das
> machen? Dann schneide ich ja den arctan quasi von seinem
> Wert ab oder?
Mein lieber Herr Gesangsverein !!! Es geht ganz schön rund !
Was sagst Du dazu:
$tan(x) = [mm] \bruch{sinx}{cosx}=\bruch{sin}{cos}=\bruch{in}{co}$
[/mm]
Wo ist denn das x geblieben ???
FRED
> Wenn man das dann noch quadriert, folgt die Aussage.
>
> Zur Ableitung:
> Setze im Folgenden f(x)=g(x), damit man besser
> durchfindet.
> Ich habe ja jetzt F(x,g(x))=0 gesetzt. Dann mit
> Kettenregel [mm]0=\frac{\partial}{\partial x}F(x,g(x))=D_1F(x,g(x))\cdot x'+D_2(F(x,g(x))g'(x).[/mm]
>
> Nun ist mein F ja: [mm]F:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},[/mm]
> also vereinfachen sich meine Matrizen [mm]D_1[/mm] und [mm]D_2[/mm] doch, und
> ich komme zu: (nach umstellen nach g':)
> [mm]\frac{\partial g}{\partial x}(x)=-(\frac{\partial F}{\partial y}(x,g(x))^{-1}+\frac{\partial F}{\partial x}(x,g(x))[/mm]
>
> Und dann berechne ich für y die Zahlen, so dass der erste
> Summand ungleich 0 ist, oder? Dann hätte ich meine
> Ableitung und vor allem auch gezeigt, dass g diffbar ist.
> Stimmt das so in etwa?
>
> Was ist, wenn ich für y mehrere Werte erhalte?
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Di 16.06.2009 | | Autor: | Unk |
> Mein lieber Herr Gesangsverein !!! Es geht ganz schön rund
> !
>
>
> Was sagst Du dazu:
>
> [mm]tan(x) = \bruch{sinx}{cosx}=\bruch{sin}{cos}=\bruch{in}{co}[/mm]
>
> Wo ist denn das x geblieben ???
>
> FRED
>
HaHa.
Ok das geht schonmal nicht. Wie dann?
Aber mein Fokus lag auch viel mehr auf dem zweiten Teil, dem Berechnen der Ableitung von f(x). Da bin ich nun noch nicht schlauer geworden.
|
|
|
| |
|
Hallo Unk,
> > Mein lieber Herr Gesangsverein !!! Es geht ganz schön rund
> > !
> >
> >
> > Was sagst Du dazu:
> >
> > [mm]tan(x) = \bruch{sinx}{cosx}=\bruch{sin}{cos}=\bruch{in}{co}[/mm]
>
> >
> > Wo ist denn das x geblieben ???
> >
> > FRED
> >
> HaHa.
>
> Ok das geht schonmal nicht. Wie dann?
> Aber mein Fokus lag auch viel mehr auf dem zweiten Teil,
> dem Berechnen der Ableitung von f(x). Da bin ich nun noch
> nicht schlauer geworden.
Es muß hier heißen:
[mm] \frac{\partial g}{\partial x}(x)=-(\frac{\partial F}{\partial y}(x,g(x))^{-1} \ \red{*} \ \frac{\partial F}{\partial x}(x,g(x)) [/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Di 16.06.2009 | | Autor: | Unk |
> Es muß hier heißen:
>
> [mm]\frac{\partial g}{\partial x}(x)=-(\frac{\partial F}{\partial y}(x,g(x))^{-1} \ \red{*} \ \frac{\partial F}{\partial x}(x,g(x))[/mm]
>
>
> Gruß
> MathePower
Ja genau, meinte ich auch.
Ich komme für [mm] g'(x)=\frac{x}{\mbox{tan}y(1+\mbox{tan}^{2}(y))}
[/mm]
Wie bekomme ich dann das y? Ich weiß, dass es auf jeden Fall nicht 0 sein kann, weil tan0=0 ist.
Muss ich es beliebig wählen?
Muss ich eigentlich noch zeigen, dass meine implizite Funktion F(x,y) stetig diffbar ist?
|
|
|
| |
|
Hallo Unk,
> > Es muß hier heißen:
> >
> > [mm]\frac{\partial g}{\partial x}(x)=-(\frac{\partial F}{\partial y}(x,g(x))^{-1} \ \red{*} \ \frac{\partial F}{\partial x}(x,g(x))[/mm]
>
> >
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
> Ja genau, meinte ich auch.
> Ich komme für
> [mm]g'(x)=\frac{x}{\mbox{tan}y(1+\mbox{tan}^{2}(y))}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie bekomme ich dann das y? Ich weiß, dass es auf jeden
> Fall nicht 0 sein kann, weil tan0=0 ist.
> Muss ich es beliebig wählen?
Setze für y jetzt [mm]f\left(x\right)[/mm] ein.
>
> Muss ich eigentlich noch zeigen, dass meine implizite
> Funktion F(x,y) stetig diffbar ist?
Nein.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Di 16.06.2009 | | Autor: | abakus |
> [mm]f(x):=arctan\sqrt{x^2-1}[/mm] mit [mm]x\in \mathbb{R},x^2>1.[/mm]
> Setze
> y=f(x). Dann gilt: (tan [mm]y)^2+1-x^2=0.[/mm]
>
> Benutze dies, um die Ableitung von f zu berechnen.
> Hallo,
>
> also erstmal zu y=f(x). Auch wenn ich dies eigentlich
> garnicht weiter zeigen müsste, habe ich es trotzdem mal
> gemacht. Kommt mir aber irgendwie komisch vor.
>
> [mm]y=arctan\sqrt{x^2-1}[/mm]
Hallo,
in dem zu verwendenden Term steht tan y. Also solltest du in deiner Gleichung auf beiden Seiten den Tangens bilden:
[mm]tan(y)=tan(arctan\sqrt{x^2-1})[/mm]
Gruß Abakus
> [mm]\Rightarrow \frac{y}{arctan}=\sqrt{x^2-1}[/mm] (Kann ich das
> machen? Dann schneide ich ja den arctan quasi von seinem
> Wert ab oder?
> Wenn man das dann noch quadriert, folgt die Aussage.
>
> Zur Ableitung:
> Setze im Folgenden f(x)=g(x), damit man besser
> durchfindet.
> Ich habe ja jetzt F(x,g(x))=0 gesetzt. Dann mit
> Kettenregel [mm]0=\frac{\partial}{\partial x}F(x,g(x))=D_1F(x,g(x))\cdot x'+D_2(F(x,g(x))g'(x).[/mm]
>
> Nun ist mein F ja: [mm]F:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},[/mm]
> also vereinfachen sich meine Matrizen [mm]D_1[/mm] und [mm]D_2[/mm] doch, und
> ich komme zu: (nach umstellen nach g':)
> [mm]\frac{\partial g}{\partial x}(x)=-(\frac{\partial F}{\partial y}(x,g(x))^{-1}+\frac{\partial F}{\partial x}(x,g(x))[/mm]
>
> Und dann berechne ich für y die Zahlen, so dass der erste
> Summand ungleich 0 ist, oder? Dann hätte ich meine
> Ableitung und vor allem auch gezeigt, dass g diffbar ist.
> Stimmt das so in etwa?
>
> Was ist, wenn ich für y mehrere Werte erhalte?
>
>
|
|
|
|
