Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Fr 30.10.2009 | | Autor: | Dinker |
Guten Abend
sin [mm] (x)^{sin (x)}
[/mm]
Ich hätte
u = sin(x) u' = cos (x)
v = sin [mm] (x)^t [/mm] ln t + sin [mm] (x)^t
[/mm]
cos (x) * ln (sin (x)) + sin (x)^(sin (x))
Was ist da falsch?
Hier ist irgendwie ein ganz anderer Ansatz gewählt worden, den ich jedoch nicht verstehe.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss DInker
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo Dinker,
Wenn du $f(x) = [mm] \sin(x)^{\sin(x)}$ [/mm] ableiten möchtest, ist das Problem, dass zunächst keine Ableitungsregel direkt angewendet werden kann, denn die einzige Regel mit Potenzen würde für f der Form $f(x) = [mm] x^{n}$ [/mm] mit [mm] $n\in\IN$ [/mm] gelten, hier aber ist der Exponent ebenfalls von x abhängig.
Man muss deswegen einen Trick anwenden: Die einzige elementare Funktion, die ein x im Exponenten hat, und wo man die Ableitung kennt, ist [mm] e^{x}. [/mm] Man weiß, dass die Ableitung von [mm] $e^{x}$ [/mm] wieder [mm] $e^{x}$ [/mm] ist. Deswegen versucht man irgendwie, die gegebene Funktion mit [mm] e^{irgendwas} [/mm] darzustellen.
Dazu wiederum bedient man sich der folgenden Identität: Es ist für beliebiges [mm] $a\in\IR$: [/mm] $a = [mm] e^{\ln(a)}$, [/mm] da [mm] \ln(...) [/mm] die Umkehrfunktion von [mm] e^{...} [/mm] ist.
Wenn man also erst den Logarithmus naturalis von a, [mm] \ln(a), [/mm] berechnet und dann wieder e hoch diesen erhaltenen Wert [mm] \ln(a) [/mm] berechnet, erhält man wieder a.
Dies kannst du nun bei dir auf das [mm] \sin(x) [/mm] in der Basis anwenden: Es ist also:
[mm] $\sin(x) [/mm] = [mm] e^{\ln(\sin(x))}$
[/mm]
(Hier war sozusagen $a = [mm] \sin(x)$). [/mm] Insgesamt erhält man also:
[mm] $\sin(x)^{\sin(x)} [/mm] = [mm] \Big(e^{\ln(\sin(x))}\Big)^{\sin(x)}$
[/mm]
Nun kennst du ja die Potenzregel [mm] \Big(a^{n}\Big)^{m} [/mm] = [mm] a^{n*m}$, [/mm] die wird nun angewendet, um endlich das [mm] \sin(x) [/mm] als Exponent wegzubekommen:
$f(x) = [mm] \sin(x)^{\sin(x)} [/mm] = [mm] \Big(e^{\ln(\sin(x))}\Big)^{\sin(x)} [/mm] = [mm] e^{\ln(\sin(x))*\sin(x)} [/mm] $
Nun hast du deine Funktion f(x) umgeformt in eine äquivalente Darstellung, von der du allerdings die Ableitung berechnen kannst (Kettenregel!)
Nach der Berechnung der Ableitung kannst du eventuell vorkommende " [mm] e^{\ln(\sin(x))*\sin(x)} [/mm] " wieder zu " [mm] \sin(x)^{\sin(x)} [/mm] " umformen.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo steppenhahn
Danke für deine sehr ausführliche und verständliche Erklärung
Ganz klappts leider noch nicht: [mm] e^{\ln(\sin(x))\cdot{}\sin(x)}
[/mm]
Wieso ist das nicht einfach sin (x) * sin (x)
Gemäss Logarithmusregel lässt sich doch das so vereinfachen?
Kettenregel
u = [mm] \ln(\sin(x))\cdot{}\sin(x) [/mm] u' = cos (x) * (ln sin (x) + 1)
v = [mm] e^{t} [/mm] v' = [mm] e^{t}
[/mm]
= cos (x) * (ln sin (x) + 1) * [mm] e^{\ln(\sin(x))\cdot{}\sin(x) }
[/mm]
Wenn ich nun [mm] \sin(x)^{\sin(x)} [/mm] = [mm] \Big(e^{\ln(\sin(x))}\Big)^{\sin(x)} [/mm] zurückführe:
= cos (x) * (ln sin (x) + 1) * [mm] e^{\sin(x)^{\sin(x)}}
[/mm]
Danke
Gruss DInker
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ganz klappts leider noch nicht:
> [mm]e^{\ln(\sin(x))\cdot{}\sin(x)}[/mm]
>
> Wieso ist das nicht einfach sin (x) * sin (x)
> Gemäss Logarithmusregel lässt sich doch das so
> vereinfachen?
Diese Logarithmusregel kenne ich nicht. Aus einem [mm]\mathrm e^{\ln(\sin(x)^{\sin(x)})} [/mm] wird ein [mm]\mathrm e^{\sin(x) \ln(\sin(x))} [/mm].
>
> Kettenregel
>
> u = [mm]\ln(\sin(x))\cdot{}\sin(x)[/mm] u' = cos (x) * (ln sin (x) +
> 1)
> v = [mm]e^{t}[/mm] v' = [mm]e^{t}[/mm]
>
> = cos (x) * (ln sin (x) + 1) *
> [mm]e^{\ln(\sin(x))\cdot{}\sin(x) }[/mm]
>
> Wenn ich nun [mm]\sin(x)^{\sin(x)}[/mm] =
> [mm]\Big(e^{\ln(\sin(x))}\Big)^{\sin(x)}[/mm] zurückführe:
>
> = cos (x) * (ln sin (x) + 1) * [mm]e^{\sin(x)^{\sin(x)}}[/mm]
Warum hast du hier noch ein [mm]\mathrm e^{\sin(x)^\sin(x)} [/mm]? Es bleibt nur noch [mm]\sin(x)^\sin(x)[/mm] übrig und dann ist alles richtig.
Viel Spaß noch,
pi-roland.
|
|
|
|
