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| Aufgabe | Ableitung von:
[mm] f_(x)=4\bruch{x-1}{(x+1)^3} [/mm] |
Hallo, beim Ableiten dieser Funktion wird der Term zu Kompliziert, was mache ich falsch?
[mm] f_(x)=4\bruch{x-1}{(x+1)^3}=f_(x)=\bruch{4x-1}{(x+1)^3}
[/mm]
mit Quotientenregel:
u=4x-1 -> u'=4
[mm] v=(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1 [/mm] -> [mm] v'=3x^2+6x+3
[/mm]
[mm] \bruch{4*(x+1)^3 - (3x^2+6x+3)(4x-1)}{(x+1)^5}
[/mm]
und jetzt alles ausmultiplizieren.
ist meine Rechnung richtig oder habe ich Fehler gemacht?
danke im vorraus
gruß Alex
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Hiho,
> Ableitung von:
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> [mm]f_(x)=4\bruch{x-1}{(x+1)^3}[/mm]
> Hallo, beim Ableiten dieser Funktion wird der Term zu
> Kompliziert, was mache ich falsch?
>
> [mm]f_(x)=4\bruch{x-1}{(x+1)^3}=f_(x)=\bruch{4x-1}{(x+1)^3}[/mm]
Steht die 4 nun vor dem Bruch oder hast du einfach falsch multipliziert?
> $ [mm] v=(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1 [/mm] $ -> $ [mm] v'=3x^2+6x+3 [/mm] $
Warum multiplizierst du die Klammer erst aus? Leite [mm] $(x+1)^3$ [/mm] doch direkt ab, das wird viel übersichtlicher.
> $ [mm] \bruch{4\cdot{}(x+1)^3 - (3x^2+6x+3)(4x-1)}{(x+1)^5} [/mm] $
Wieso steht denn [mm] $(x+1)^5$ [/mm] im Nenner?
MFG,
Gono.
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> Steht die 4 nun vor dem Bruch oder hast du einfach falsch
> multipliziert?
Ja stimmt ich habe falsch multipliziert also steht im Zähler 4x-4.
> Wieso steht denn [mm](x+1)^5[/mm] im Nenner?
Im Nenner steht [mm] (x+1)^5 [/mm] weil ja die Quotientenregel besagt [mm] \bruch{u'*v-v'*u}{v^2} [/mm] und der Nenner ist [mm] (x+1)^3 [/mm] also habe ich zwei Potenzen dazugezählt, ist das Falsch?
> Warum multiplizierst du die Klammer erst aus? Leite [mm](x+1)^3[/mm]
> doch direkt ab, das wird viel übersichtlicher.
danke für den Tipp ich kann ja [mm] (x+1)^3 [/mm] mit der Kettenregel ableiten oder?
gruß Alex
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> Ja stimmt ich habe falsch multipliziert also steht im
> Zähler 4x-4.
Dann korrigier das im nächsten Versuch.
> > Wieso steht denn [mm](x+1)^5[/mm] im Nenner?
>
> Im Nenner steht [mm](x+1)^5[/mm] weil ja die Quotientenregel besagt
> [mm]\bruch{u'*v-v'*u}{v^2}[/mm] und der Nenner ist [mm](x+1)^3[/mm] also habe
> ich zwei Potenzen dazugezählt, ist das Falsch?
Du sollst nix "dazuzählen", du sollst quadrieren.
Was ist denn [mm] $\left((x+3)^3\right)^2$ [/mm] ?
> > Warum multiplizierst du die Klammer erst aus? Leite [mm](x+1)^3[/mm]
> > doch direkt ab, das wird viel übersichtlicher.
>
> danke für den Tipp ich kann ja [mm](x+1)^3[/mm] mit der Kettenregel
> ableiten oder?
Ja.
Und nun fang nochmal von vorn an und mach es richtig.
MFG,
Gono.
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OK Versuch Nr.2
mit Quotientenregel
u=4x-4 -> u'=4
[mm] v=(x+1)^3 [/mm] -> [mm] v'=3(x+1)^2
[/mm]
also
[mm] \bruch{4*(x+1)^3 - 3*(x+1)^2 * (4x-4)}{(x+1)^9}
[/mm]
und ab jetzt sehe ich keine vereinfachung mehr also muss ich ausmultiplizieren?
gruß Alex
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> OK Versuch Nr.2
>
> mit Quotientenregel
>
> u=4x-4 -> u'=4
> [mm]v=(x+1)^3[/mm] -> [mm]v'=3(x+1)^2[/mm]
Korrekt
> also
>
> [mm]\bruch{4*(x+1)^3 - 3*(x+1)^2 * (4x-4)}{(x+1)^9}[/mm]
Wie kommst du denn im Nenner nun auf die 9 als Potenz?
Vielleicht solltest du nochmal die ![[]](/images/popup.gif) Potenzgesetze nacharbeiten.
> und ab jetzt sehe ich keine vereinfachung mehr also muss
> ich ausmultiplizieren?
Nein. Also du kannst mindestens was mit dem Nenner kürzen.
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Ups na klar folgendes kommt raus:
$ [mm] \bruch{4\cdot{}(x+1)^3 - 3\cdot{}(x+1)^2 \cdot{} (4x-4)}{(x+1)^6} [/mm] $
dann kann ich ja kürzen und es bleibt:
[mm] \bruch{4\cdot{}(x+1)^3 - 3\cdot{} (4x-4)}{(x+1)^4} [/mm]
dann die 4 Ausklammern:
[mm] \bruch{4\cdot{}(x+1)^3 - 12\cdot{} (x-1)}{(x+1)^4} [/mm]
dann die 4 nochmal im gesammten Zähler ausklammern:
[mm] \bruch{4((x+1)^3 - 3\cdot{} (x-1))}{(x+1)^4} [/mm]
ausmultiplizieren:
[mm] 4(x^3+3x^2+3x+1-3x+3)
[/mm]
und:
[mm] 4x^3+12x^2+9x+7
[/mm]
ist das richtig?
gruß Alex
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Hallo Alex!
> Ups na klar folgendes kommt raus:
> [mm]\bruch{4\cdot{}(x+1)^3 - 3\cdot{}(x+1)^2 \cdot{} (4x-4)}{(x+1)^6}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> dann kann ich ja kürzen und es bleibt:
> [mm]\bruch{4\cdot{}(x+1)^3 - 3\cdot{} (4x-4)}{(x+1)^4}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier hast Du falsch gekürzt. Klammere am besten zunächst [mm] $(x+1)^2$ [/mm] aus.
Dann verbleibt nach dem Kürzen:
$$f'(x) \ = \ [mm] \bruch{4\cdot{}(x+1) - 3\cdot{} (4x-4)}{(x+1)^4}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:57 Di 15.12.2009 | | Autor: | capablanca |
Danke sehr allen für die Hilfe! Ich habe die richtige Lösung rausbekommen und alles verstanden!
gruß Alex
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> Ableitung von:
>
> [mm]f_(x)=4\bruch{x-1}{(x+1)^3}[/mm]
> Hallo, beim Ableiten dieser Funktion wird der
> Term zu kompliziert, was mache ich falsch?
Hallo Alex,
es gäbe hier auch einen Weg ohne Quotientenregel:
Substitution $\ [mm] u:=x+1\qquad [/mm] u'(x)=1$
$\ f(x)\ =\ g(u)\ =\ [mm] 4\,\frac{u-2}{u^3}\ [/mm] =\ [mm] 4\,u^{-2}-8\,u^{-3}$
[/mm]
$\ [mm] g'(u)=-8\,u^{-3}+24\,u^{-4}\ [/mm] =\ [mm] 8\,\frac{3-u}{u^4}\ [/mm] =\ [mm] 8\,\frac{2-x}{(x+1)^4}$
[/mm]
$\ f'(x)\ =\ g'(u)*u'(x)\ =\ [mm] \left(8\,\frac{2-x}{(x+1)^4}\right)*1\ [/mm] =\ [mm] 8\,\frac{2-x}{(x+1)^4}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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> Hallo Alex,
>
> es gäbe hier auch einen Weg ohne Quotientenregel:
>
> Substitution [mm]\ u:=x+1\qquad u'(x)=1[/mm]
>
> [mm]\ f(x)\ =\ g(u)\ =\ 4\,\frac{u-2}{u^3}\ =\ 4\,u^{-2}-8\,u^{-3}[/mm]
Hallo, danke für den Tipp, ich verstehe aber diesen Lösungsweg leider noch nicht ganz. Also u=x+1 deswegen steht im Nenner [mm] u^3 [/mm] aber wieso steht im Zähler u-2? wie kommmt man dadrauf?
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Hallo capablanca!
Wenn gilt $u \ := \ x+1$ , folgt durch Addition auf beiden Seiten mit $-2$ :
$$u-2 \ = \ x+1-2 \ = \ x-1$$
Und das ist der Term im Zähler.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:27 Di 15.12.2009 | | Autor: | capablanca |
danke!
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