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| Aufgabe | | Gesucht ist die Ableitung : [mm] \frac{d}{dx}(x^{x^x}) [/mm] |
hallo,
ich komm bei der Ableitung einfach nicht weiter.
Bei der Anwendung der Kettenregel muss ich etwas übersehen.
hab folgendes ausprobiert:
[mm] y=x^{x^x}
[/mm]
mit
[mm] y=u^v
[/mm]
[mm] u=v^x
[/mm]
folgt
[mm] \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}*\frac{du}{dv}
[/mm]
und wenn ich das weiter ausrechne komm ich zu keinem vernünftigen ergebnis.
habt ihr eine idee, was falsch läuft?
lg
richard
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Hallo richardducat,
> Gesucht ist die Ableitung : [mm]\frac{d}{dx}(x^{x^x})[/mm]
> hallo,
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> ich komm bei der Ableitung einfach nicht weiter.
> Bei der Anwendung der Kettenregel muss ich etwas
> übersehen.
>
> hab folgendes ausprobiert:
>
> [mm]y=x^{x^x}[/mm]
>
> mit
>
> [mm]y=u^v[/mm]
> [mm]u=v^x[/mm]
>
> folgt
>
>
> [mm]\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}*\frac{du}{dv}[/mm]
>
> und wenn ich das weiter ausrechne komm ich zu keinem
> vernünftigen ergebnis.
>
> habt ihr eine idee, was falsch läuft?
Ich verstehe nicht ganz, was du gemacht hast. Es muss doch oben y = [mm] v(x)^{x} [/mm] und v(x) = [mm] x^{x} [/mm] lauten? (Du hast zu wenige x in deinen Substitutionen).
Ich mache dir jetzt mal vor, wie man [mm] x^{x} [/mm] ableitet; du überträgst das dann auf deine Funktion.
Es ist
$f(x) = [mm] x^{x} [/mm] = [mm] \Big(e^{\ln(x)}\Big)^{x} [/mm] = [mm] e^{x*\ln(x)}$ [/mm]
wegen $x = [mm] e^{\ln(x)}$ [/mm] (Logarithmus ist Umkehrfunktion der Exponentialfunktion).
Dann ist:
$f'(x) = [mm] e^{x*\ln(x)}*\Big[x*\ln(x)\Big]' [/mm] = [mm] x^{x}*\Big[x*\ln(x)\Big]' [/mm] = [mm] x^{x}*(\ln(x) [/mm] + 1)$.
Nun bist du dran 
Grüße,
Stefan
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hallo stefan,
danke für deine unterstützung!
die vorgehensweise um [mm] x^x [/mm] abzuleiten ist mir klar.
nehme ich nun [mm] f(x)=x^{x^x}=x^{e^{ln(x)*x}}
[/mm]
und substituiere
[mm] y=v(x)^x [/mm] und [mm] v(x)=x^x=e^{x*ln(x)} [/mm] ,
dann sagt mir die kettenregel:
[mm] \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dv}*\frac{dv}{dx}.
[/mm]
[mm] \frac{dv}{dx} [/mm] ist klar, aber ich schaff es nicht [mm] \frac{dy}{dv} =(v(x)^x)' [/mm] zu bestimmen.
gruß
richard
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:06 Mi 16.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ist $ [mm] y=v(x)^x= e^{x*ln(v(x))} [/mm] $ . Also:
$y'= [mm] e^{x*ln(v(x))} [/mm] *(x*ln(v(x))' = [mm] v(x)^x(ln(v(x) [/mm] +x [mm] \bruch{v'(x)}{v(x)})$
[/mm]
FRED
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vielen dank, fred!
richard
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