Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Di 13.12.2011 | | Autor: | me_gusta |
| Aufgabe | f(x,y,z)=x*ln(x²/y²)+z^(-1/2)
[mm] f(x,y,z)=x*ln(\bruch{x^{2}}{y^{2}})+\wurzel{z} [/mm] |
Ich möchte diese Funktion nach x ableiten. Als Lösung kommt raus: [mm] 2+ln(\bruch{x^{2}}{y^{2}})
[/mm]
wenn ich das rechne passiert folgendes:
die [mm] \wurzel{z} [/mm] fällt ja weg, weil kein x enthalten ist, und das ganze somit wie eine Konstante behandelt wird.
[mm] x*ln(\bruch{x^{2}}{y^{2}}) [/mm] leite ich mit der Produktregel ab. Dafür brauche ich wiederum die Quotientenregel wegen [mm] ln(\bruch{x^{2}}{y^{2}}) [/mm] und gleichzeitig die logarithmische Ableitungsregel. Somit erhalte ich für f'x = [mm] x*2x+ln(\bruch{x^{2}}{y^{2}})
[/mm]
offensichtlich laut Lösung falsch.
Wo könnte der Fehler liegen ?
Außerdem wäre es nett, wenn mir jemand erklären könnte, was genau es bedeutet, eine variable als konstante zu behandeln. wenn da einfach +y steht fällt es weg, wie als würde da ein Zahl stehen, dass verstehe ich. Aber was mache ich mit y wenn es zum Beispiel wie bei meiner Aufgabe in einem Bruch steht. Das verstehe ich nicht genau.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo me_gusta,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> f(x,y,z)=x*ln(x²/y²)+z^(-1/2)
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> [mm]f(x,y,z)=x*ln(\bruch{x^{2}}{y^{2}})+\wurzel{z}[/mm]
> Ich möchte diese Funktion nach x ableiten. Als Lösung
> kommt raus: [mm]2+ln(\bruch{x^{2}}{y^{2}})[/mm]
>
> wenn ich das rechne passiert folgendes:
>
> die [mm]\wurzel{z}[/mm] fällt ja weg, weil kein x enthalten ist,
> und das ganze somit wie eine Konstante behandelt wird.
>
> [mm]x*ln(\bruch{x^{2}}{y^{2}})[/mm] leite ich mit der Produktregel
> ab. Dafür brauche ich wiederum die Quotientenregel wegen
> [mm]ln(\bruch{x^{2}}{y^{2}})[/mm] und gleichzeitig die
> logarithmische Ableitungsregel. Somit erhalte ich für f'x
> = [mm]x*2x+ln(\bruch{x^{2}}{y^{2}})[/mm]
>
Hier musst doch stehen:
[mm]x*\red{\bruch{2}{x}}+ln(\bruch{x^{2}}{y^{2}})[/mm]
Kurzum, die Ableitung von [mm]\ln\left(\bruch{x^{2}}{y^{2}}\right)[/mm] ist nicht richtig.
> offensichtlich laut Lösung falsch.
>
> Wo könnte der Fehler liegen ?
> Außerdem wäre es nett, wenn mir jemand erklären
> könnte, was genau es bedeutet, eine variable als konstante
> zu behandeln. wenn da einfach +y steht fällt es weg, wie
> als würde da ein Zahl stehen, dass verstehe ich. Aber was
> mache ich mit y wenn es zum Beispiel wie bei meiner Aufgabe
> in einem Bruch steht. Das verstehe ich nicht genau.
>
Alles was nicht mit x zun zu tun hat wird als Konstante behandelt.
Die Ableitung nach x von [mm]\bruch{x^{2}}{y^{2}}[/mm] wird so gebildet:
[mm]\left(\ \bruch{x^{2}}{y^{2}} \ \right)'=\bruch{1}{y^{2}}*\left( \ x^{2} \ \right)'[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Di 13.12.2011 | | Autor: | me_gusta |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{x^{2}}{y^{2}} [/mm] |
vielen dank schon einmal für die superschnelle Antwort.
Aber ich verstehe leider immer noch nicht, wie ich denn jetzt [mm] \bruch{x^{2}}{y^{2}} [/mm] abzuleiten habe. Also ich habe es mit folgender Regel abgeleitet :
[mm] (\bruch{g}{h})'=\bruch{g'*h-g*h'}{h^{2}}
[/mm]
das wäre dann bei mir:
[mm] \bruch{x^{2}}{y^{2}}=\bruch{2x*y^{2}-x^{2}*0}{y^{4}}
[/mm]
und das ganze dann nochmal geteilt durch den ursprungsbruch, wegen der Ableitung bei Logarithmen. Bei der 0 im Zähler bin ich mir nicht sicher. Die Ableitung von y² ist ja normalerweise 2y aber in diesem Fall soll ich y ja als Konstante betrachten, dann wäre es null. Stimmt das soweit ?
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Hallo me_gusta,
> [mm]\bruch{x^{2}}{y^{2}}[/mm]
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> vielen dank schon einmal für die superschnelle Antwort.
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> Aber ich verstehe leider immer noch nicht, wie ich denn
> jetzt [mm]\bruch{x^{2}}{y^{2}}[/mm] abzuleiten habe. Also ich habe
> es mit folgender Regel abgeleitet :
>
Betrachte [mm]\bruch{1}{y^{2}}[/mm] als konstanten Faktor.
Dann ist
[mm]\left(\ \bruch{x^{2}}{y^{2}} \ \right)'=\bruch{1}{y^{2}}\cdot{}\left( \ x^{2} \ \right)' [/mm]
> [mm](\bruch{g}{h})'=\bruch{g'*h-g*h'}{h^{2}}[/mm]
>
> das wäre dann bei mir:
>
> [mm]\bruch{x^{2}}{y^{2}}=\bruch{2x*y^{2}-x^{2}*0}{y^{4}}[/mm]
> und das ganze dann nochmal geteilt durch den
> ursprungsbruch, wegen der Ableitung bei Logarithmen. Bei
> der 0 im Zähler bin ich mir nicht sicher. Die Ableitung
> von y² ist ja normalerweise 2y aber in diesem Fall soll
> ich y ja als Konstante betrachten, dann wäre es null.
> Stimmt das soweit ?
Das kannst Du so machen.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Di 13.12.2011 | | Autor: | me_gusta |
Vielen Dank mathepower, ich denke, ich hab das jetzt einigermaßen verstanden :).
Werd das jetzt noch in einigen Aufgaben üben.
Danke
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Hallo me_gusta,
!!
Du kannst Dir das Ableiten hier auch etwas vereinfachen, wenn Du zunächst mit Hilfe der  Logarithmusgesetze umformst:
[mm] $$x*\ln\left(\bruch{x^2}{y^2}\right) [/mm] \ = \ [mm] x*\left[ \ \ln\left(x^2\right)-\ln\left(y^2\right) \ \right] [/mm] \ = \ [mm] x*\ln\left(x^2\right)-x*\ln\left(y^2\right) [/mm] \ = \ [mm] 2x*\ln(x)-x*\ln\left(y^2\right)$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Di 13.12.2011 | | Autor: | me_gusta |
wow danke da steckt was drin, was ich bisher völlig übersehen hatte: dass man den exponenten in einem logarithmus ja schließlich auch davor ziehen kann^^.
Danke, dann ist es gleich viel einfacher :).
Dann krieg ich raus:
[mm] 2x*\bruch{1}{x}-x*\bruch{0}{y^{2}}
[/mm]
[mm] x*\bruch{0}{y^{2}} [/mm] fällt weg, und somit hab ich 2 raus.
Richtig ?
Danke nochmal roadrunner :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 Di 13.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> wow danke da steckt was drin, was ich bisher völlig
> übersehen hatte: dass man den exponenten in einem
> logarithmus ja schließlich auch davor ziehen kann^^.
> Danke, dann ist es gleich viel einfacher :).
>
> Dann krieg ich raus:
>
> [mm]2x*\bruch{1}{x}-x*\bruch{0}{y^{2}}[/mm]
>
> [mm]x*\bruch{0}{y^{2}}[/mm] fällt weg, und somit hab ich 2 raus.
>
> Richtig ?
Wenn ich es richtig mitbekommen habe, so willst Du
$ \ [mm] 2x\cdot{}\ln(x)-x\cdot{}\ln\left(y^2\right)$
[/mm]
nach x ableiten.
Dann ist obiges aber falsch !
Leite
$ \ [mm] 2x\cdot{}\ln(x)$
[/mm]
mit der Produktregel ab und in [mm] $x\cdot{}\ln\left(y^2\right)$ [/mm] mußt Du [mm] $\ln\left(y^2\right)$ [/mm] als Konstante betrachten.
FRED
> Danke nochmal roadrunner :)
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 Di 13.12.2011 | | Autor: | me_gusta |
Danke auch and FRED :)
nach der Produktregel krieg ich von [mm] 2x*ln(x)-x*ln(y^{2}) [/mm] dann also folgendes:
[mm] 2x*\bruch{1}{x}+2*ln(x)-x*\bruch{0}{y^{2}}+1*ln(y²)
[/mm]
[mm] =2+ln(x^{2})-ln(y^{2})
[/mm]
[mm] =2+ln(\bruch{x^{2}}{y^{2}})
[/mm]
und dann stimmts mit der Lösung überein :)
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