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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 Di 12.06.2012 | | Autor: | Fry |
Hallo,
eine Folge diffbarer Funktionen [mm] $(f_n)_n$ [/mm] sei gegeben mit [mm] $\lim_{n\to\infty}f_n=0$ [/mm] (Nullfkt)
Ferner gelte [mm] $f'_n(x)\le [/mm] 0$ für alle $x,n$
Nun soll gelten, dass [mm] $\lim_{n\to\infty} [/mm] f'(x)=0$ für alle $x$. Warum gilt das denn?
LG
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 Di 12.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] f_n [/mm] gegen 0 heisst [mm] f_n(x)<\epsilon [/mm] /2 für [mm] n>N_0
[/mm]
jetz bilde den Differentialquotienten! für [mm] f_n [/mm] und führe [mm] f_n'<-\epsilon [/mm] <0 zum Widerspruch.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:19 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Fry |
Hey Leduart,
vielen Dank für deine Antwort.
Mmmm...weiß irgendwie nicht so richtig, wie ich das machen soll.
Könntest du das noch weiter ausführen?
LG
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:01 Mi 13.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> eine Folge diffbarer Funktionen [mm](f_n)_n[/mm] sei gegeben mit
> [mm]\lim_{n\to\infty}f_n=0[/mm] (Nullfkt)
> Ferner gelte [mm]f'_n(x)\le 0[/mm] für alle [mm]x,n[/mm]
>
> Nun soll gelten, dass [mm]\lim_{n\to\infty} f'(x)=0[/mm] für alle
> [mm]x[/mm]. Warum gilt das denn?
Es gilt nicht:
Sei [mm] f_n(x):=\bruch{1}{n}x^{2n} [/mm] für x [mm] \in [/mm] I:=[-1,0]
[mm] (f_n) [/mm] konv. auf I gleichmäßig gegen 0, es ist [mm] f_n' \le [/mm] 0 auf I , aber
[mm] f_n'(-1)=-2 [/mm] für alle n.
FRED
>
> LG
> Fry
>
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 08:02 Mi 13.06.2012 | | Autor: | comfee76 |
Hallo Fry,
Vielleicht gehe ich hier zu einfach ran, aber wenigstens als Denkanstoß:
wie du weißt gibt dir die Ableitung einer Funktion die Steigung der anliegenden Tangente im jeweiligen Punkt x an. Das heißt, wenn deine Funktion in einem Punkt monoton fallend ist, ist deine Ableitung negativ.
Wenn also [mm] {f_{n}(x)} [/mm] gegen die Nullfunktion konvergiert gibt es zwei möglichkeiten: entweder [mm] {f_{n}(x)} \ge [/mm] 0 und monoton fallend für alle x, oder [mm] {f_{n}(x)} \le [/mm] 0 und monoton steigend. Da du nun weißt, dass [mm] {f_{n}'(x)} \le [/mm] 0 ist, ist zweite Fall nicht möglich, da dann deine Ableitung stets positiv sein müsste (da [mm] {f_{n}(x)} [/mm] monoton steigend).
Das bedeutet wiederrum, dass [mm] {f_{n}(x)} [/mm] monoton fallend sein muss und durch 0 beschränkt (da es sonst nicht konvergieren würde). Damit dieser Fall eintritt muss auch die Steigung in den Einzelnen Punkten (zwar weiterhin negativ sein aber) immer kleiner werden! (Sprich auch gegen null konvergieren)
Ich hoffe das hilft dir ein wenig ;)
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 08:26 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Marc |
Hallo comfee76,
> Vielleicht gehe ich hier zu einfach ran, aber wenigstens
> als Denkanstoß:
> wie du weißt gibt dir die Ableitung einer Funktion die
> Steigung der anliegenden Tangente im jeweiligen Punkt x an.
> Das heißt, wenn deine Funktion in einem Punkt monoton
> fallend ist, ist deine Ableitung negativ.
Richtig wäre es, wenn du entweder "Funktion streng monoton"oder "Ableitung nicht-positiv" schreibst.
> Wenn also [mm]{f_{n}(x)}[/mm] gegen die Nullfunktion konvergiert
> gibt es zwei möglichkeiten: entweder [mm]{f_{n}(x)} \ge[/mm] 0 und
> monoton fallend für alle x, oder [mm]{f_{n}(x)} \le[/mm] 0 und
> monoton steigend.
Warum sollte nur einer der beiden Fälle dann möglich sein? Z.B. konvergiert [mm] $f_n(x)=\frac1n \sin(x)$ [/mm] auch gegen die Nullfunktion, ist aber sowohl monoton steigend als auch fallend.
> Da du nun weißt, dass [mm]{f_{n}'(x)} \le[/mm] 0
> ist, ist zweite Fall nicht möglich, da dann deine
> Ableitung stets positiv sein müsste (da [mm]{f_{n}(x)}[/mm] monoton
> steigend).
> Das bedeutet wiederrum, dass [mm]{f_{n}(x)}[/mm] monoton fallend
> sein muss und durch 0 beschränkt (da es sonst nicht
> konvergieren würde).
Das wissen wir ja bereits, da es direkt als Voraussetzung gefordert ist.
> Damit dieser Fall eintritt muss auch
> die Steigung in den Einzelnen Punkten (zwar weiterhin
> negativ sein aber) immer kleiner werden! (Sprich auch gegen
> null konvergieren)
Nein, das stimmt nicht, wie doch Freds Beispiel sehr schön zeigt.
Viele Grüße
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:53 Mi 13.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fry,
>
> Vielleicht gehe ich hier zu einfach ran, aber wenigstens
> als Denkanstoß:
> wie du weißt gibt dir die Ableitung einer Funktion die
> Steigung der anliegenden Tangente im jeweiligen Punkt x an.
> Das heißt, wenn deine Funktion in einem Punkt monoton
> fallend ist, ist deine Ableitung negativ.
>
> Wenn also [mm]{f_{n}(x)}[/mm] gegen die Nullfunktion konvergiert
> gibt es zwei möglichkeiten: entweder [mm]{f_{n}(x)} \ge[/mm] 0 und
> monoton fallend für alle x, oder [mm]{f_{n}(x)} \le[/mm] 0 und
> monoton steigend. Da du nun weißt, dass [mm]{f_{n}'(x)} \le[/mm] 0
> ist, ist zweite Fall nicht möglich, da dann deine
> Ableitung stets positiv sein müsste (da [mm]{f_{n}(x)}[/mm] monoton
> steigend).
> Das bedeutet wiederrum, dass [mm]{f_{n}(x)}[/mm] monoton fallend
> sein muss und durch 0 beschränkt (da es sonst nicht
> konvergieren würde). Damit dieser Fall eintritt muss auch
> die Steigung in den Einzelnen Punkten (zwar weiterhin
> negativ sein aber) immer kleiner werden! (Sprich auch gegen
> null konvergieren)
>
> Ich hoffe das hilft dir ein wenig ;)
Edit: gestrichen
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:27 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Marc |
Hallo Fred,
> Neulich, an unserem Stammtisch, kam eine Diskussion auf
> über die Lebensweise und das Paarungsverhlten von
> Wühlmäusen.
>
> Während der etwa halbstündigen Diskussion habe ich kein
> Wort gesagt.
>
> Warum ? Na klar, ich kenne mich in obiger Thematik
> überhaupt nicht aus.
Das soll hier aber gerade nicht so sein!
Hier soll auch jemand, der sich angeblich nicht auskennt, ruhig das Wort ergreifen und die Dinge so darstellen, wie er sie eben verstanden hat. Durch sachliche Kritik (der mitlesenden anderen Mitglieder) werden doch dann hoffentlich seine Missverständnisse aufgedeckt.
Ich halte das bei der Gründung des MatheRaum ausgegebene Motto "Verstehen durch eigenes Erklären" immer noch für eine sehr gute Möglichkeit des Lernens.
Ich hoffe daher, dass sich der Antwortgeber durch deine kleine Stammtisch-Anekdote nicht entmutigen lässt, hier nochmal Fragen zu beantworten.
Viele Grüße
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:16 Mi 13.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Neulich, an unserem Stammtisch, kam eine Diskussion auf
> > über die Lebensweise und das Paarungsverhlten von
> > Wühlmäusen.
> >
> > Während der etwa halbstündigen Diskussion habe ich kein
> > Wort gesagt.
> >
> > Warum ? Na klar, ich kenne mich in obiger Thematik
> > überhaupt nicht aus.
>
> Das soll hier aber gerade nicht so sein!
> Hier soll auch jemand, der sich angeblich nicht auskennt,
> ruhig das Wort ergreifen und die Dinge so darstellen, wie
> er sie eben verstanden hat. Durch sachliche Kritik (der
> mitlesenden anderen Mitglieder) werden doch dann
> hoffentlich seine Missverständnisse aufgedeckt.
> Ich halte das bei der Gründung des MatheRaum ausgegebene
> Motto "Verstehen durch eigenes Erklären" immer noch für
> eine sehr gute Möglichkeit des Lernens.
> Ich hoffe daher, dass sich der Antwortgeber durch deine
> kleine Stammtisch-Anekdote nicht entmutigen lässt, hier
> nochmal Fragen zu beantworten.
>
> Viele Grüße
> Marc
Hallo Marc,
Du hast völlig recht und ich möchte mich bei comfee entschuldigen.
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:55 Mo 25.06.2012 | | Autor: | Fry |
Vielen Dank euch allen nochmal für eure anregenden Beiträge :)
LG
Fry
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