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Forum "Differentiation" - Ableitung
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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:01 Fr 29.06.2012
Autor: Anazeug

Aufgabe
An welche Stellen sind die folgenden Funktionen differnzierbar? Bestimmen Sie dort die Ableitung!

1. f: [-1,1] [mm] \to \IR, [/mm] f(x) = arcsin x
2. f: [mm] [0,\infty] \to \IR, [/mm] f(x) = [mm] x^a [/mm] (0<a [mm] \in \IR) [/mm]
3. f: [mm] (0,\infty) \to \IR, [/mm] f(x) = [mm] x^x [/mm]



Die Ableitungen müsste ich richtig haben:

1. f'(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} [/mm] (Sollte man das herleiten? (Könnte ich nicht)
2. f'(x) = [mm] ax^{a-1} [/mm]
3. f(x) = [mm] x^x [/mm] = [mm] e^{ln x^x} [/mm] = [mm] e^{x ln(x)} [/mm]
   f'(x) = [mm] e^{x ln(x)} [/mm] * (ln(x) + x [mm] \bruch{1}{x}) [/mm] = [mm] x^{x} [/mm] ln(x) +1

Aber zu den "Stellen an denen die Funktion differnenzierbar ist" bin ich mir etwas unsicher...  

Wäre die Lösung bei 1., dass sie nur an den Stellen [mm] [-\pi/2,\pi/2] [/mm] differnzierbar ist?

Wäre dankbar für ein paar Hinweise, habe sicher etwas übersehen oder noch nicht ganz verstanden ...

        
Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:34 Fr 29.06.2012
Autor: leduart

Hallo
a) was wnn der Nenner 0 wird?
b)selbe frage für a<1
c) was ist mit x=0
und am Ende hast du dich wohl vertipt, nicht $ [mm] x^{x\cdot ln(x) +1} [/mm] $ sondern $ [mm] x^{x}\cdot [/mm] (ln(x) +1) $
Die Ableitungen an den diffbaren Stellen sind richtig. arcsin leitet man ab über die Ableitungsregeln für Umkehrfunktionen ab.
steht da wirklich ne eckige Klammer bei [mm] \infty [/mm] das geht eigentlich nicht.
Gruss leduart

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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:10 Sa 30.06.2012
Autor: Anazeug


> Hallo
>  a) was wnn der Nenner 0 wird?
>  b)selbe frage für a<1
>  c) was ist mit x=0

zu a) Welchen Nenner meinst du gerade?
zu b) ???
zu c) wenn x = 0, dann erhalten wir 0 und das liegt nicht im Interval, somit ist die Funktion für x=0 nicht diffbar?

>  und am Ende hast du dich wohl vertipt, nicht [mm]x^{x\cdot ln(x) +1}[/mm]
> sondern [mm]x^{x}\cdot (ln(x) +1)[/mm]
>  Die Ableitungen an den
> diffbaren Stellen sind richtig. arcsin leitet man ab über
> die Ableitungsregeln für Umkehrfunktionen ab.
>  steht da wirklich ne eckige Klammer bei [mm]\infty[/mm] das geht
> eigentlich nicht.
>  Gruss leduart

Jap, ich werde es korrigieren, danke für den Hinweis.


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Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:58 Sa 30.06.2012
Autor: ChopSuey

Hallo,

der Nenner darf nicht zu Null werden. Dort sind deine Funktionen nicht definiert, also auch nicht differenzierbar.
Hilft dir das?

Übrigens: tatsächlich ist $ [0, [mm] \infty] [/mm] := [mm] \IR_+ \cup \{+\infty\} [/mm] $

Einige Autoren verwenden diese Definition und Schreibweise.

Viele Grüße
ChopSuey

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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:35 Sa 30.06.2012
Autor: Anazeug


> Hallo,
>  
> der Nenner darf nicht zu Null werden. Dort sind deine
> Funktionen nicht definiert, also auch nicht
> differenzierbar.
>  Hilft dir das?

Ja, das weiß ich ja, die Frage ist nur, wo bei arcsin (x) der Nenner ist? Oder reden wir aneinander vorbei?

Bezug
                                        
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Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:50 Sa 30.06.2012
Autor: TheBozz-mismo

Hallo!
ich denke mal, es handelt sich um den Nenner von $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} [/mm] $, also der Ableitung der arcsin.

Gruß
TheBozz-mismo

Bezug
        
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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:30 Sa 30.06.2012
Autor: Anazeug


> An welche Stellen sind die folgenden Funktionen
> differnzierbar? Bestimmen Sie dort die Ableitung!
>  
> 1. f: [-1,1] [mm]\to \IR,[/mm] f(x) = arcsin x
>  2. f: [mm][0,\infty] \to \IR,[/mm] f(x) = [mm]x^a[/mm] (0<a [mm]\in \IR)[/mm]
>  3. f: [mm](0,\infty) \to \IR,[/mm] f(x) = [mm]x^x[/mm]

Hab ich das jetzt richtig verstanden:

zu 1. ist für alle x (Ausnahme: [mm] x_{1} [/mm] = 1; [mm] x_{2} [/mm] = -1) differnzierbar
zu 2. ist für alle a > 1 differenzierbar (???)
zu 3. ist für x [mm] \in \IR, \setminus \{0\} [/mm] differnzierbar

Bezug
                
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Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:39 Sa 30.06.2012
Autor: leduart

Hallo

> > An welche Stellen sind die folgenden Funktionen
> > differnzierbar? Bestimmen Sie dort die Ableitung!
>  >  
> > 1. f: [-1,1] [mm]\to \IR,[/mm] f(x) = arcsin x
>  >  2. f: [mm][0,\infty] \to \IR,[/mm] f(x) = [mm]x^a[/mm] (0<a [mm]\in \IR)[/mm]
>  >  
> 3. f: [mm](0,\infty) \to \IR,[/mm] f(x) = [mm]x^x[/mm]
>  
> Hab ich das jetzt richtig verstanden:
>  
> zu 1. ist für alle x (Ausnahme: [mm]x_{1}[/mm] = 1; [mm]x_{2}[/mm] = -1)

besser für aööe [mm] x\in(-1,1) [/mm]

> differnzierbar
>  zu 2. ist für alle a > 1 differenzierbar (???)

falsch ist for [mm] a\ge1 [/mm] für alle x difb. für 0<a<1 in x=0 nicht

>  zu 3. ist für x [mm]\in \IR, \setminus \{0\}[/mm] differnzierbar

da 0 nicht zum def. bereich gehört ist es für alle x aus dem defbereich diffb.
aber ich denke, du solltest die aussagen begründen!
Gruss leduart


Bezug
                        
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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:07 So 01.07.2012
Autor: Anazeug


> Hallo
> An welche Stellen sind die folgenden Funktionen differnzierbar?

1. f: [-1,1] [mm]\to \IR,[/mm] f(x) = arcsin x
2. f: [mm][0,\infty] \to \IR,[/mm] f(x) = [mm]x^a[/mm] (0<a [mm]\in \IR)[/mm]
3. f: [mm](0,\infty) \to \IR,[/mm] f(x) = [mm]x^x[/mm]

zu 1. ist für alle [mm]x\in(-1,1)[/mm] diff'bar
zu 2. ist für [mm]a\ge1[/mm] für alle x diff'bar (für 0<a<1 in x=0 nicht)
zu 3. wäre eigentlich nur für x [mm]\in \IR, \setminus \{0\}[/mm] differnzierbar (da 0 aber nicht zum Definitionsbereich gehört ist es für alle x aus dem Definitionsbereich diff'bar)

>  aber ich denke, du solltest die aussagen begründen!
>  Gruss leduart

Was soll man denn da noch genauer begründen?

Bezug
                                
Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:55 Mo 02.07.2012
Autor: Helbig

Hallo Anazeug,

>  > An welche Stellen sind die folgenden Funktionen

> differnzierbar?
> 1. f: [-1,1] [mm]\to \IR,[/mm] f(x) = arcsin x
>  2. f: [mm][0,\infty] \to \IR,[/mm] f(x) = [mm]x^a[/mm] (0<a [mm]\in \IR)[/mm]
>  3. f:
> [mm](0,\infty) \to \IR,[/mm] f(x) = [mm]x^x[/mm]
>  
> zu 1. ist für alle [mm]x\in(-1,1)[/mm] diff'bar

Zu 1) zeigen wir:

i)  arcsin ist auf $ (-1, 1)$ differenzierbar und

ii) arcsin ist auf [mm] $\{-1, 1\}$ [/mm] nicht differenzierbar.

Zu i) können wir einen Satz über die Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion anwenden, nachdem die Umkehrfunktion einer auf einem Intervall streng monotonen, differenzierbaren Funktion, deren Ableitung [mm] $\ne [/mm] 0$ ist, auch differenzierbar ist.

Der Sinus ist auf [mm] $(-\pi/2, \pi/2)$ [/mm] streng monoton steigend, differenzierbar und seine Ableitung cos hat dort keine Nullstelle. Nach dem Satz ist arcsin auf [mm] $\sin\bigl((-\pi/2, \pi/2)\bigr)=(-1,1)$ [/mm] differenzierbar.

Zu ii) Wir nehmen an, arcsin sei an der Stelle -1 differenzierbar. Nun ist
[mm] $(\arcsin\circ \sin)(\phi) [/mm] = [mm] \phi$ [/mm] und mit der Kettenregel folgte:

[mm] $1=(\arcsin\circ\sin)' (-\pi/2)= \arcsin'\bigl(\sin(-\pi/2)\bigr)*\sin'(-\pi/2) [/mm] = [mm] \arcsin'(-1)*\cos(-\pi/2) [/mm] = [mm] \arcsin'(-1)*0$. [/mm] Widerspruch! Ebenso für die Stelle 1.

So ähnlich kann man auch die (Nicht-)Differenzierbarkeit in 2) und 3) begründen.

liebe Grüße,
Wolfgang


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