Ableitung (Quotientenregel) < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:52 Sa 12.03.2005 | | Autor: | st_0783 |
Hallo,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Ich komme bei folgender Ableitung nicht weiter..
[mm] f(x)=\bruch{\wurzel[3]{x}}{1+x^2}
[/mm]
Quotientenregel ist ja klar. Aber irgendwie komme ich auch nach reiflicher Überlegung und rum probieren nicht auf die Lösung. Zu allem Überfluss soll ich dann auch noch die zweite Ableitung bilden....
Kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:20 Sa 12.03.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo st_0783
> Hallo,
> ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Ich komme bei folgender Ableitung nicht weiter..
> [mm]f(x)=\bruch{\wurzel[3]{x}}{1+x^2}
[/mm]
>
> Quotientenregel ist ja klar. Aber irgendwie komme ich auch
> nach reiflicher Überlegung und rum probieren nicht auf die
> Lösung. Zu allem Überfluss soll ich dann auch noch die
> zweite Ableitung bilden....
Ich gehe mal davon aus, dass du an der Ableitung des Zählers hängst, oder?
Du kannst eine Wurzel aber immer als Potenz schreiben, also
[mm] u(x) = \wurzel[3]{x} = x^{\bruch{1}{3}} [/mm]
Damit kannst du die Ableitung mit Hilfe der Potenzregel finden:
[mm] u'(x) = \bruch{1}{3} x^{-{\bruch{2}{3}}} [/mm]
[mm] = \bruch{1}{3} \bruch{1}{\wurzel[3]{x^2}} [/mm]
Kommst du jetzt klar? Sonst melde dich!
Gruß Sigrid
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> Kann mir jemand helfen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:12 Sa 12.03.2005 | | Autor: | st_0783 |
Ok, die Ableitung des Zählers ist klar. Nach der Quotientenregel komm ich dann auf folgendes:
[mm] f'(x)=\bruch{\bruch{1}{3}*x^\frac{-2}{3}*1+x^2-\wurzel[3]{x}*2x}{(1+x)^2}
[/mm]
Da ich aber noch wie schon geschrieben noch die zweite Ableitung brauche. Wäre ich sehr dankbar wenn mir jemand sagen könnte wie ich den Ausdruck noch vereinfachen könnte....
THX
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Halli hallo!
> Ok, die Ableitung des Zählers ist klar. Nach der
> Quotientenregel komm ich dann auf folgendes:
>
> [mm]f'(x)=\bruch{\bruch{1}{3}*x^\frac{-2}{3}*1+x^2-\wurzel[3]{x}*2x}{(1+x)^2}
[/mm]
ein paar kleine Fehler haben sich noch eingeschlichen:
[mm] f'(x)=\bruch{\bruch{1}{3}*x^\frac{-2}{3}*(1+x^2)-\wurzel[3]{x}*2x}{(1+x^2)^2}
[/mm]
> Da ich aber noch wie schon geschrieben noch die zweite
> Ableitung brauche. Wäre ich sehr dankbar wenn mir jemand
> sagen könnte wie ich den Ausdruck noch vereinfachen
> könnte....
Tja, also eigentlich kannst du nichts wirklich vereinfachen!
Ich würde wahrscheinlic einfach so weiterrechnen, auch wenns natürlich nicht besonders schön ist!
Was du aber auch noch machen könntest (wobei ich nicht weiß ob das wirklich schneller geht) ist es aus dem einen bruch zwei brüche zu machen, also
[mm] f'(x)=\bruch{\bruch{1}{3}*x^\frac{-2}{3}*(1+x^2)}{(1+x^2)^2}-\bruch{\wurzel[3]{x}*2x}{(1+x^2)^2}
[/mm]
Dann könntest du beim ersten bruch noch kürzen..... aber wie gesagt, ob das im Endeffekt schneller und einfacher ist als einfach so weiterzurechnen mußt du entscheiden
Liebe Grüße
Ulrike
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Sa 12.03.2005 | | Autor: | st_0783 |
Ok, erstmal ein großes Danke!
Nach Rücksprache mit meinem Matheprof hat er mir das Ergebnis gesagt...
[mm] f'(x)=\bruch{1-5x^2}{3*\wurzel[3]{x^2}*(x^2+1)^2} [/mm]
Also ehrlich gesagt, ich komme da beim besten Willen nicht drauf... was mich daran am meisten irritiert ist die [mm] 5x^2. [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Sa 12.03.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo st_0783
> Ok, erstmal ein großes Danke!
> Nach Rücksprache mit meinem Matheprof hat er mir das
> Ergebnis gesagt...
>
> [mm]f'(x)=\bruch{1-5x^2}{3*\wurzel[3]{x^2}*(x^2+1)^2}[/mm]
>
> Also ehrlich gesagt, ich komme da beim besten Willen nicht
> drauf... was mich daran am meisten irritiert ist die [mm]5x^2.[/mm]
Das ist nur eine andere Umformung. Wie Ulrike schon gesagt, ist die Ableitung
[mm] f'(x) = \bruch{\bruch{1}{3} x^{-\bruch{2}{3}}(1+x^2)-x^\bruch{1}{3} \cdot 2x}{(1+x^2)^2} [/mm]
Diesen Bruch erweiterst du nun mit [mm] 3 x^\bruch{2}{3} [/mm] und du erhälst
[mm] \bruch{1+x^2 - 3\cdot x \cdot 2x}{3 x^\bruch{2}{3}(1+x^2)^2} [/mm]
Wenn du jetzt den Zähler vereinfachst und im Nenner wieder die Potenz von x wieder in eine Wurzel schreibst, erhälst du das Ergebnis deines Lehrers.
Den Trick mit dem Erweitern kannst du übrigens sehr oft zur Vereinfachung anwenden, wenn Wurzeln vorkommen. Denn jetzt ist der Nenner ja besonders einfach, was beim Ermitteln von Nullstellen sehr günstig ist.
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> Gruß Sigrid
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