Ableitung Volumenintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Mi 04.05.2011 | | Autor: | gfm |
Hallo!
Sei [mm] h:\IR^n\to\IR [/mm] glatt und [mm] g:\IR^n\to\IR [/mm] integrierbar.
Es soll [mm] \frac{d}{dt}\integral_{\IR^n}{\left(1_{(-\infty,t]}\circ h\right)*g}d\lambda [/mm] umgeformt werden.
Mir schwebt ein Ausdruck mit [mm] |\nabla{g}| [/mm] und einer Integration über die Hyperfläche [mm] \{h=t\} [/mm] vor. Geht so etwas? Wenn ja, wie und unter welchen Voraussetzungen bzw. was wäre das Stichwort zum googeln oder wo kann ich das nachlesen?
LG
gfm
P.S.: Hab wie immer nur hier gefragt...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 Mi 04.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]h:\IR^n\to\IR[/mm] glatt und [mm]g:\IR^n\to\IR[/mm] integrierbar.
>
> Es soll
> [mm]\frac{d}{dt}\integral_{\IR^n}{\left(1_{(-\infty,t]}\circ h\right)*g}d\lambda[/mm]
> umgeformt werden.
>
> Mir schwebt ein Ausdruck mit [mm]|\nabla{g}|[/mm] und einer
> Integration über die Hyperfläche [mm]\{h=t\}[/mm] vor. Geht so
> etwas?
Bedenke, dass g nicht differenzierbar sein muss; [mm] $\nabla{g}$ [/mm] muss also gar nicht definiert sein.
> Wenn ja, wie und unter welchen Voraussetzungen bzw.
> was wäre das Stichwort zum googeln oder wo kann ich das
> nachlesen?
Stelle die Ableitung als Grenzwert eines Differenzenquotienten dar. Welcher Satz springt dir dann ins Auge?
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:10 Do 05.05.2011 | | Autor: | gfm |
> Hallo!
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> > Sei [mm]h:\IR^n\to\IR[/mm] glatt und [mm]g:\IR^n\to\IR[/mm] integrierbar.
> >
> > Es soll
> > [mm]\frac{d}{dt}\integral_{\IR^n}{\left(1_{(-\infty,t]}\circ h\right)*g}d\lambda[/mm]
> > umgeformt werden.
> >
> > Mir schwebt ein Ausdruck mit [mm]|\nabla{g}|[/mm] und einer
> > Integration über die Hyperfläche [mm]\{h=t\}[/mm] vor. Geht so
> > etwas?
>
> Bedenke, dass g nicht differenzierbar sein muss; [mm]\nabla{g}[/mm]
> muss also gar nicht definiert sein.
Ach, sorry, ich meinte natürlich [mm]|\nabla{h}|[/mm]
>
> > Wenn ja, wie und unter welchen Voraussetzungen bzw.
> > was wäre das Stichwort zum googeln oder wo kann ich das
> > nachlesen?
>
> Stelle die Ableitung als Grenzwert eines
> Differenzenquotienten dar. Welcher Satz springt dir dann
> ins Auge?
>
Du meinst den Limes von
[mm]\integral_{\IR^n}{1_{(t,t+\Delta t]}(h(x))*g(x)}d\lambda(x)[/mm]
für [mm] \Delta t\to [/mm] 0?
Willst Du auf den Hauptsatz der Diff.- und Integralrechnung hinaus?
Es wird ja über das Volumen zwischen den Hyperflächen [mm] \{h=t\} [/mm] und [mm] \{h=t+\Delta t\} [/mm] integriert. Deswegen meine Idee ein Volumenelement mit "Flächenelement mal Länge des Gradienten von h" darzustellen. Was meinst Du?
LG
gfm
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:28 Do 05.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Hallo!
> >
> > > Sei [mm]h:\IR^n\to\IR[/mm] glatt und [mm]g:\IR^n\to\IR[/mm] integrierbar.
> > >
> > > Es soll
> > > [mm]\frac{d}{dt}\integral_{\IR^n}{\left(1_{(-\infty,t]}\circ h\right)*g}d\lambda[/mm]
> > > umgeformt werden.
> > >
> > > Mir schwebt ein Ausdruck mit [mm]|\nabla{g}|[/mm] und einer
> > > Integration über die Hyperfläche [mm]\{h=t\}[/mm] vor. Geht so
> > > etwas?
> >
> > Bedenke, dass g nicht differenzierbar sein muss; [mm]\nabla{g}[/mm]
> > muss also gar nicht definiert sein.
>
> Ach, sorry, ich meinte natürlich [mm]|\nabla{h}|[/mm]
> >
> > > Wenn ja, wie und unter welchen Voraussetzungen bzw.
> > > was wäre das Stichwort zum googeln oder wo kann ich das
> > > nachlesen?
> >
> > Stelle die Ableitung als Grenzwert eines
> > Differenzenquotienten dar. Welcher Satz springt dir dann
> > ins Auge?
> >
>
> Du meinst den Limes von
>
> [mm]\integral_{\IR^n}{1_{(t,t+\Delta t]}(h(x))*g(x)}d\lambda(x)[/mm]
>
> für [mm]\Delta t\to[/mm] 0?
Fast: den Limes von
[mm] \bruch{1}{\Delta t} \integral_{\IR^n}{1_{(t,t+\Delta t]}(h(x))*g(x)}d\lambda(x)[/mm]
für [mm]\Delta t\to 0[/mm] .
> Willst Du auf den Hauptsatz der Diff.- und Integralrechnung
> hinaus?
>
> Es wird ja über das Volumen zwischen den Hyperflächen
> [mm]\{h=t\}[/mm] und [mm]\{h=t+\Delta t\}[/mm] integriert. Deswegen meine
> Idee ein Volumenelement mit "Flächenelement mal Länge des
> Gradienten von h" darzustellen. Was meinst Du?
Wann darfst du Integration und Limes vertauschen?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Do 05.05.2011 | | Autor: | gfm |
> Hallo!
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> > > Hallo!
> > >
> > > > Sei [mm]h:\IR^n\to\IR[/mm] glatt und [mm]g:\IR^n\to\IR[/mm] integrierbar.
> > > >
> > > > Es soll
> > > > [mm]\frac{d}{dt}\integral_{\IR^n}{\left(1_{(-\infty,t]}\circ h\right)*g}d\lambda[/mm]
> > > > umgeformt werden.
> > > >
> > > > Mir schwebt ein Ausdruck mit [mm]|\nabla{g}|[/mm] und einer
> > > > Integration über die Hyperfläche [mm]\{h=t\}[/mm] vor. Geht so
> > > > etwas?
> > >
> > > Bedenke, dass g nicht differenzierbar sein muss; [mm]\nabla{g}[/mm]
> > > muss also gar nicht definiert sein.
> >
> > Ach, sorry, ich meinte natürlich [mm]|\nabla{h}|[/mm]
> > >
> > > > Wenn ja, wie und unter welchen Voraussetzungen bzw.
> > > > was wäre das Stichwort zum googeln oder wo kann ich das
> > > > nachlesen?
> > >
> > > Stelle die Ableitung als Grenzwert eines
> > > Differenzenquotienten dar. Welcher Satz springt dir dann
> > > ins Auge?
> > >
> >
> > Du meinst den Limes von
> >
> > [mm]\integral_{\IR^n}{1_{(t,t+\Delta t]}(h(x))*g(x)}d\lambda(x)[/mm]
>
> >
> > für [mm]\Delta t\to[/mm] 0?
>
> Fast: den Limes von
>
> [mm]\bruch{1}{\Delta t} \integral_{\IR^n}{1_{(t,t+\Delta t]}(h(x))*g(x)}d\lambda(x)[/mm]
>
>
> für [mm]\Delta t\to 0[/mm] .
>
> > Willst Du auf den Hauptsatz der Diff.- und Integralrechnung
> > hinaus?
> >
> > Es wird ja über das Volumen zwischen den Hyperflächen
> > [mm]\{h=t\}[/mm] und [mm]\{h=t+\Delta t\}[/mm] integriert. Deswegen meine
> > Idee ein Volumenelement mit "Flächenelement mal Länge des
> > Gradienten von h" darzustellen. Was meinst Du?
>
> Wann darfst du Integration und Limes vertauschen?
>
Wenn z.B. die Voraussetzungen für montone oder majorisierte Konvergenz erfüllt sind, bzw. die Voraussetzungen eines Ablegers der Letzteren - der Differentiation unter dem Integralzeichen - davon.
Das Problem ist, das ich das nicht darf, bevor mindestens eine Integration ausgeführt ist, da der von t abhängende Teil des Produkts im Integranden die spezielle Form
[mm] 1_{(-\infty,t]}(h(x))
[/mm]
hat, oder? Wenn t variiert ist der Ausdruck entweder konstant oder er macht Sprünge, welche erst einmal durch eine Integration über mindestens eine Dimension eliminiert werden müssen, oder?
LG
gfm
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Do 05.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Hallo!
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> > > > Hallo!
> > > >
> > > > > Sei [mm]h:\IR^n\to\IR[/mm] glatt und [mm]g:\IR^n\to\IR[/mm] integrierbar.
> > > > >
> > > > > Es soll
> > > > > [mm]\frac{d}{dt}\integral_{\IR^n}{\left(1_{(-\infty,t]}\circ h\right)*g}d\lambda[/mm]
> > > > > umgeformt werden.
> > > > >
> > > > > Mir schwebt ein Ausdruck mit [mm]|\nabla{g}|[/mm] und einer
> > > > > Integration über die Hyperfläche [mm]\{h=t\}[/mm] vor. Geht so
> > > > > etwas?
> > > >
> > > > Bedenke, dass g nicht differenzierbar sein muss; [mm]\nabla{g}[/mm]
> > > > muss also gar nicht definiert sein.
> > >
> > > Ach, sorry, ich meinte natürlich [mm]|\nabla{h}|[/mm]
> > > >
> > > > > Wenn ja, wie und unter welchen Voraussetzungen bzw.
> > > > > was wäre das Stichwort zum googeln oder wo kann ich das
> > > > > nachlesen?
> > > >
> > > > Stelle die Ableitung als Grenzwert eines
> > > > Differenzenquotienten dar. Welcher Satz springt dir dann
> > > > ins Auge?
> > > >
> > >
> > > Du meinst den Limes von
> > >
> > > [mm]\integral_{\IR^n}{1_{(t,t+\Delta t]}(h(x))*g(x)}d\lambda(x)[/mm]
>
> >
> > >
> > > für [mm]\Delta t\to[/mm] 0?
> >
> > Fast: den Limes von
> >
> > [mm]\bruch{1}{\Delta t} \integral_{\IR^n}{1_{(t,t+\Delta t]}(h(x))*g(x)}d\lambda(x)[/mm]
>
> >
> >
> > für [mm]\Delta t\to 0[/mm] .
> >
> > > Willst Du auf den Hauptsatz der Diff.- und Integralrechnung
> > > hinaus?
> > >
> > > Es wird ja über das Volumen zwischen den Hyperflächen
> > > [mm]\{h=t\}[/mm] und [mm]\{h=t+\Delta t\}[/mm] integriert. Deswegen meine
> > > Idee ein Volumenelement mit "Flächenelement mal Länge des
> > > Gradienten von h" darzustellen. Was meinst Du?
> >
> > Wann darfst du Integration und Limes vertauschen?
> >
>
> Wenn z.B. die Voraussetzungen für montone oder
> majorisierte Konvergenz erfüllt sind, bzw. die
> Voraussetzungen eines Ablegers der Letzteren - der
> Differentiation unter dem Integralzeichen - davon.
>
> Das Problem ist, das ich das nicht darf, bevor mindestens
> eine Integration ausgeführt ist, da der von t abhängende
> Teil des Produkts im Integranden die spezielle Form
>
> [mm]1_{(-\infty,t]}(h(x))[/mm]
>
> hat, oder? Wenn t variiert ist der Ausdruck entweder
> konstant oder er macht Sprünge, welche erst einmal durch
> eine Integration über mindestens eine Dimension eliminiert
> werden müssen, oder?
Nein. Dieser Ausdruck hat entweder den Wert Null oder 1. Außerdem ist g integrierbar, Die Voraussetzungen für den den Satz von der majorisierten Konvergenz sind damit erfüllt, denn
[mm] |1_{(t,t+\Delta t]}\circ h *g| \le |g| [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:49 Do 05.05.2011 | | Autor: | gfm |
> Hallo!
>
> > > Hallo!
> > >
> > > > > Hallo!
> > > > >
> > > > > > Sei [mm]h:\IR^n\to\IR[/mm] glatt und [mm]g:\IR^n\to\IR[/mm] integrierbar.
> > > > > >
> > > > > > Es soll
> > > > > > [mm]\frac{d}{dt}\integral_{\IR^n}{\left(1_{(-\infty,t]}\circ h\right)*g}d\lambda[/mm]
> > > > > > umgeformt werden.
> > > > > >
> > > > > > Mir schwebt ein Ausdruck mit [mm]|\nabla{g}|[/mm] und einer
> > > > > > Integration über die Hyperfläche [mm]\{h=t\}[/mm] vor. Geht so
> > > > > > etwas?
> > > > >
> > > > > Bedenke, dass g nicht differenzierbar sein muss; [mm]\nabla{g}[/mm]
> > > > > muss also gar nicht definiert sein.
> > > >
> > > > Ach, sorry, ich meinte natürlich [mm]|\nabla{h}|[/mm]
> > > > >
> > > > > > Wenn ja, wie und unter welchen Voraussetzungen bzw.
> > > > > > was wäre das Stichwort zum googeln oder wo kann ich das
> > > > > > nachlesen?
> > > > >
> > > > > Stelle die Ableitung als Grenzwert eines
> > > > > Differenzenquotienten dar. Welcher Satz springt dir dann
> > > > > ins Auge?
> > > > >
> > > >
> > > > Du meinst den Limes von
> > > >
> > > > [mm]\integral_{\IR^n}{1_{(t,t+\Delta t]}(h(x))*g(x)}d\lambda(x)[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > für [mm]\Delta t\to[/mm] 0?
> > >
> > > Fast: den Limes von
> > >
> > > [mm]\bruch{1}{\Delta t} \integral_{\IR^n}{1_{(t,t+\Delta t]}(h(x))*g(x)}d\lambda(x)[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > für [mm]\Delta t\to 0[/mm] .
> > >
> > > > Willst Du auf den Hauptsatz der Diff.- und Integralrechnung
> > > > hinaus?
> > > >
> > > > Es wird ja über das Volumen zwischen den Hyperflächen
> > > > [mm]\{h=t\}[/mm] und [mm]\{h=t+\Delta t\}[/mm] integriert. Deswegen meine
> > > > Idee ein Volumenelement mit "Flächenelement mal Länge des
> > > > Gradienten von h" darzustellen. Was meinst Du?
> > >
> > > Wann darfst du Integration und Limes vertauschen?
> > >
> >
> > Wenn z.B. die Voraussetzungen für montone oder
> > majorisierte Konvergenz erfüllt sind, bzw. die
> > Voraussetzungen eines Ablegers der Letzteren - der
> > Differentiation unter dem Integralzeichen - davon.
> >
> > Das Problem ist, das ich das nicht darf, bevor mindestens
> > eine Integration ausgeführt ist, da der von t abhängende
> > Teil des Produkts im Integranden die spezielle Form
> >
> > [mm]1_{(-\infty,t]}(h(x))[/mm]
> >
> > hat, oder? Wenn t variiert ist der Ausdruck entweder
> > konstant oder er macht Sprünge, welche erst einmal durch
> > eine Integration über mindestens eine Dimension eliminiert
> > werden müssen, oder?
>
> Nein. Dieser Ausdruck hat entweder den Wert Null oder 1.
> Außerdem ist g integrierbar, Die Voraussetzungen für den
> den Satz von der majorisierten Konvergenz sind damit
> erfüllt, denn
>
> [mm]|1_{(t,t+\Delta t]}\circ h *g| \le |g|[/mm] .
Und was hilft das jetzt?
[mm] \frac{d}{dt}\integral_{\IR^n}{\left(1_{(-\infty,t]}\circ h\right)*g}d\lambda=\lim_{\Delta t\to0}\frac{1}{\Delta t}\left(\integral_{\IR^n}{\left(1_{(-\infty,t+\Delta t]}\circ h\right)*g}d\lambda-\integral_{\IR^n}{\left(1_{(-\infty,t]}\circ h\right)*g}d\lambda\right)=\lim_{\Delta t\to0}\integral_{\IR^n}\frac{(1_{(t,t+\Delta t]}\circ h)*g}{\Delta t}d\lambda
[/mm]
Wie soll's denn jetzt weitergehen?
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:03 Sa 07.05.2011 | | Autor: | gfm |
> > Hallo!
> >
> > > > Hallo!
> > > >
> > > > > > Hallo!
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> > > > > > > Sei [mm]h:\IR^n\to\IR[/mm] glatt und [mm]g:\IR^n\to\IR[/mm] integrierbar.
> > > > > > >
> > > > > > > Es soll
> > > > > > > [mm]\frac{d}{dt}\integral_{\IR^n}{\left(1_{(-\infty,t]}\circ h\right)*g}d\lambda[/mm]
> > > > > > > umgeformt werden.
> > > > > > >
> > > > > > > Mir schwebt ein Ausdruck mit [mm]|\nabla{g}|[/mm] und einer
> > > > > > > Integration über die Hyperfläche [mm]\{h=t\}[/mm] vor. Geht so
> > > > > > > etwas?
> > > > > >
> > > > > > Bedenke, dass g nicht differenzierbar sein muss; [mm]\nabla{g}[/mm]
> > > > > > muss also gar nicht definiert sein.
> > > > >
> > > > > Ach, sorry, ich meinte natürlich [mm]|\nabla{h}|[/mm]
> > > > > >
> > > > > > > Wenn ja, wie und unter welchen Voraussetzungen bzw.
> > > > > > > was wäre das Stichwort zum googeln oder wo kann ich das
> > > > > > > nachlesen?
> > > > > >
> > > > > > Stelle die Ableitung als Grenzwert eines
> > > > > > Differenzenquotienten dar. Welcher Satz springt dir dann
> > > > > > ins Auge?
> > > > > >
> > > > >
> > > > > Du meinst den Limes von
> > > > >
> > > > > [mm]\integral_{\IR^n}{1_{(t,t+\Delta t]}(h(x))*g(x)}d\lambda(x)[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > für [mm]\Delta t\to[/mm] 0?
> > > >
> > > > Fast: den Limes von
> > > >
> > > > [mm]\bruch{1}{\Delta t} \integral_{\IR^n}{1_{(t,t+\Delta t]}(h(x))*g(x)}d\lambda(x)[/mm]
>
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> > >
> > > >
> > > >
> > > > für [mm]\Delta t\to 0[/mm] .
> > > >
> > > > > Willst Du auf den Hauptsatz der Diff.- und Integralrechnung
> > > > > hinaus?
> > > > >
> > > > > Es wird ja über das Volumen zwischen den Hyperflächen
> > > > > [mm]\{h=t\}[/mm] und [mm]\{h=t+\Delta t\}[/mm] integriert. Deswegen meine
> > > > > Idee ein Volumenelement mit "Flächenelement mal Länge des
> > > > > Gradienten von h" darzustellen. Was meinst Du?
> > > >
> > > > Wann darfst du Integration und Limes vertauschen?
> > > >
> > >
> > > Wenn z.B. die Voraussetzungen für montone oder
> > > majorisierte Konvergenz erfüllt sind, bzw. die
> > > Voraussetzungen eines Ablegers der Letzteren - der
> > > Differentiation unter dem Integralzeichen - davon.
> > >
> > > Das Problem ist, das ich das nicht darf, bevor mindestens
> > > eine Integration ausgeführt ist, da der von t abhängende
> > > Teil des Produkts im Integranden die spezielle Form
> > >
> > > [mm]1_{(-\infty,t]}(h(x))[/mm]
> > >
> > > hat, oder? Wenn t variiert ist der Ausdruck entweder
> > > konstant oder er macht Sprünge, welche erst einmal durch
> > > eine Integration über mindestens eine Dimension eliminiert
> > > werden müssen, oder?
> >
> > Nein. Dieser Ausdruck hat entweder den Wert Null oder 1.
> > Außerdem ist g integrierbar, Die Voraussetzungen für den
> > den Satz von der majorisierten Konvergenz sind damit
> > erfüllt, denn
> >
> > [mm]|1_{(t,t+\Delta t]}\circ h *g| \le |g|[/mm] .
>
> Und was hilft das jetzt?
>
>
> [mm]\frac{d}{dt}\integral_{\IR^n}{\left(1_{(-\infty,t]}\circ h\right)*g}d\lambda=\lim_{\Delta t\to0}\frac{1}{\Delta t}\left(\integral_{\IR^n}{\left(1_{(-\infty,t+\Delta t]}\circ h\right)*g}d\lambda-\integral_{\IR^n}{\left(1_{(-\infty,t]}\circ h\right)*g}d\lambda\right)=\lim_{\Delta t\to0}\integral_{\IR^n}\frac{(1_{(t,t+\Delta t]}\circ h)*g}{\Delta t}d\lambda[/mm]
>
> Wie soll's denn jetzt weitergehen?
>
Was ist meine ist folgendes. Nehmen wir ein einfaches Beispiel, welches man auch so lösen kann:
[mm] \frac{d}{dt}\integral1_{(-\infty,t]}(x+y^2)g(x,y)d\lambda(x,y)=\frac{d}{dt}\integral1_{(-\infty,t-y^2]}(x)g(x,y)d\lambda(x,y)=\frac{d}{dt}\integral\left(\integral1_{(-\infty,t-y^2]}(x)g(x,y)d\lambda(x)\right)d\lambda(y)=\frac{d}{dt}\integral\left(\integral_{-\infty}^{t-y^2}g(x,y)d\lambda(x)\right)d\lambda(y)
[/mm]
[mm] =\integral\frac{d}{dt}\left(\integral_{-\infty}^{t-y^2}g(x,y)d\lambda(x)\right)d\lambda(y)=\integral g(t-y^2,y)d\lambda(y)
[/mm]
Hier ist [mm] h(x,y)=x+y^2
[/mm]
Nun könnte man neue Koordinaten
[mm] p=x+y^2
[/mm]
q=y
d.h.
[mm] x=p-q^2
[/mm]
y=q
mit der Jakobi-Determinate 1.
[mm] \frac{d}{dt}\integral1_{(-\infty,t]}(x+y^2)g(x,y)d\lambda(x,y)=\frac{d}{dt}\integral1_{(-\infty,t-y^2]}(x)g(x,y)d\lambda(x,y)=\frac{d}{dt}\integral1_{(-\infty,t]}(p)g(p-q^2,q)d\lambda(p,q)=\frac{d}{dt}\integral\left(\integral_{-\infty}^{t}g(p-q^2,q)d\lambda(p)\right)d\lambda(q)=...
[/mm]
Im Allgemeinen kann man das aber mit einem h(x) nicht so einfach machen. Wenn man aber t variiert, wird dadurch die Hyperfläche zu h(x)=t "aufgeblasen". Die Frage ist doch, wieviel Oberflächenintegral mit g(x) über die Hyperfläche h(x)=t differentiell entsteht. Kann man das nicht direkt mit h(x) darstellen?
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Sa 07.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 21:01 Do 05.05.2011 | | Autor: | gfm |
> Hallo!
>
> > > Hallo!
> > >
> > > > Sei [mm]h:\IR^n\to\IR[/mm] glatt und [mm]g:\IR^n\to\IR[/mm] integrierbar.
> > > >
> > > > Es soll
> > > > [mm]\frac{d}{dt}\integral_{\IR^n}{\left(1_{(-\infty,t]}\circ h\right)*g}d\lambda[/mm]
> > > > umgeformt werden.
> > > >
> > > > Mir schwebt ein Ausdruck mit [mm]|\nabla{g}|[/mm] und einer
> > > > Integration über die Hyperfläche [mm]\{h=t\}[/mm] vor. Geht so
> > > > etwas?
> > >
> > > Bedenke, dass g nicht differenzierbar sein muss; [mm]\nabla{g}[/mm]
> > > muss also gar nicht definiert sein.
> >
> > Ach, sorry, ich meinte natürlich [mm]|\nabla{h}|[/mm]
> > >
> > > > Wenn ja, wie und unter welchen Voraussetzungen bzw.
> > > > was wäre das Stichwort zum googeln oder wo kann ich das
> > > > nachlesen?
> > >
> > > Stelle die Ableitung als Grenzwert eines
> > > Differenzenquotienten dar. Welcher Satz springt dir dann
> > > ins Auge?
> > >
> >
> > Du meinst den Limes von
> >
> > [mm]\integral_{\IR^n}{1_{(t,t+\Delta t]}(h(x))*g(x)}d\lambda(x)[/mm]
>
> >
> > für [mm]\Delta t\to[/mm] 0?
>
> Fast: den Limes von
>
> [mm]\bruch{1}{\Delta t} \integral_{\IR^n}{1_{(t,t+\Delta t]}(h(x))*g(x)}d\lambda(x)[/mm]
>
>
> für [mm]\Delta t\to 0[/mm] .
>
> > Willst Du auf den Hauptsatz der Diff.- und Integralrechnung
> > hinaus?
> >
> > Es wird ja über das Volumen zwischen den Hyperflächen
> > [mm]\{h=t\}[/mm] und [mm]\{h=t+\Delta t\}[/mm] integriert. Deswegen meine
> > Idee ein Volumenelement mit "Flächenelement mal Länge des
> > Gradienten von h" darzustellen. Was meinst Du?
>
> Wann darfst du Integration und Limes vertauschen?
Was ist denn, wenn wir [mm] $u=h(x_1,x_2,...,x_n)$ [/mm] nach [mm] $x_1$ [/mm] auflösen und damit substituieren?
[mm] x_1=h^{x_1}(u,x_2,..,x_n)
[/mm]
[mm] x_2=x_2
[/mm]
...
[mm] x_n=x_n
[/mm]
[mm] g^\*(u,x_2,...,x_n):=g(h^{x_1}(u,x_2,..,x_n),x_2,...,x_n)
[/mm]
[mm] \integral_{\IR^n}{(1_{(-\infty,t]}\circ h)*g}d\lambda(x)=\integral_{\IR^n}1_{(-\infty,t]}(u)*g^\*(u,x_2,...,x_n)|\frac{\partial h^{x_1}}{\partial u}|d\lambda(u,x_2,...,x_n)=\integral_{-\infty}^{t}\integral_{\IR^{n-1}}g^\*(u,x_2,...,x_n)|\frac{\partial h^{x_1}}{\partial u}|d\lambda(u)d\lambda(x_2,...,x_n)
[/mm]
Und wenn man dann ableitet, hätte man
[mm] (g^\**|\frac{\partial h^{x_1}}{\partial u}|)|_{u=t}
[/mm]
Aber irgendwie sollte es doch auch gehen, mit der Hyperfläche n-1 neue Koordinaten einzuführen und die n-te in Richtung des Gradienten zu wählen, oder? Dann müßte man h nicht nach einer Variablen auflösen, oder?
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Sa 07.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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