Ableitung Wurzelfunktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:35 Mi 23.03.2016 | | Autor: | Stala |
| Aufgabe | Es sei $ f: [mm] \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}= \sqrt[3]{xy} [/mm] $ definiert.
a) Untersuchen Sie auf partielle Differenzierbarkeit an allen Punkten [mm] $\vektor{a \\ b} \in \mathbb{R}^{2} \setminus \vektor{0 \\ 0}.$
[/mm]
b) Untersuchen Sie auf totale Diffenrenzierbarkeit für alle$ [mm] \vektor{a \\ b} \in \mathbb{R}^{2} \setminus \vektor{0 \\ 0}.$
[/mm]
c) Untersuchen Sie die Richtungsableitung für den Vektor $ v [mm] \in \mathbb{R} [/mm] $ im Punkt [mm] $\vektor{0 \\ 0}$
[/mm]
d) Ist f in [mm] $\vektor{0 \\ 0} [/mm] $ stetig und differenzierbar? |
Ich tue mich mit der Diffenrenziation hier etwas schwer und das Ganze ist in meinem Skript so ohne gute Beispiele dargestellt, sodass ich gern einmal meine Lösung präsentieren würde. Ich bin mir vor allem für die Grenzbereiche mit x=0 bzw y=0 und entsprechend für den Punkt [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] sehr unsicher.
$(a)$
Nach der Definition der Wurzel ist diese nur für positive Zahlen definiert. Also ist die Funktion f nur definiert für [mm] $\begin{pmatrix}
a\\
b\\
\end{pmatrix}$ [/mm] mit [mm] $a\cdot [/mm] b [mm] \geq [/mm] 0$ und somit kann f auch nur für diese [mm] $\begin{pmatrix}
a\\
b\\
\end{pmatrix}$ [/mm] partiell differenzierbar sein. Sei nun y als fester Parameter gewählt, also y=b Dann ist [mm] $f(x,b)=\sqrt[3]{xb}$ [/mm] und somit nach den Regeln der Differenziation für Abbildungen von [mm] $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ [/mm] in allen Punkten mit x [mm] \neq [/mm] 0 differenzierbar. Also gilt: [mm] $D_{1}f(x,y)=\frac{\sqrt[3]{y}}{3\cdot x^{\frac{2}{3}}}$. [/mm] Ist y=0 so ergibt sich: f(x,0)=0 und somit [mm] $D_{1}f(x,0)=0$ [/mm] für alle $x [mm] \in \mathbb{R}$. [/mm] Zusammengefasst also: [mm] \\
[/mm]
[mm] $D_{1}f(x,y)= \begin{cases}
\frac{\sqrt[3]{y}}{3\cdot x^{\frac{2}{3}}} & x,y \neq 0, x\cdot y>0\\
0 & y=0 \\
\end{cases} \\$
[/mm]
Für die partielle Ableitung nach y folgt völlig [mm] analog:\\
[/mm]
[mm] $D_{2}f(x,y)= \begin{cases}
\frac{\sqrt[3]{x}}{3\cdot y^{\frac{2}{3}}} & x,y \neq 0, x\cdot y>0 \\
0 & x=0 \\
\end{cases} \\$
[/mm]
$(b)$
Die Funktion f ist dort total differenzierbar, an denen die partiellen Ableitungen existieren und stetig sind. Diese existieren für alle x,y [mm] \neq [/mm] 0, [mm] x\cdot [/mm] y>0 und sind in diesen Punkten auch stetig, da es sich bei [mm] $D_{1}f(x,y)$ [/mm] und [mm] $D_{2}f(x,y)$ [/mm] um rationale Funktionen handelt und diese für diese Menge definiert sind. An den Punkten mit x=0 bzw. y=0 sind die Funktionen nicht stetig, da [mm] $D_{1}f(x,0)=D_{2}f(0,y)=0$ [/mm] aber [mm] $\lim\limits_{y \rightarrow 0}{f(D_{1}f(x,y))}= \lim\limits_{x \rightarrow 0}{f(D_{2}f(x,y))}= \infty$ [/mm] Somit gilt: $f'(x,y)= ( [mm] \frac{\sqrt[3]{y}}{3\cdot x^{\frac{2}{3}}}, \frac{\sqrt[3]{x}}{3\cdot y^{\frac{2}{3}}})$ [/mm] für alle
$x,y [mm] \neq [/mm] 0, [mm] x\cdot [/mm] y>0$ [mm] \\
[/mm]
$(c)$
Für eine Differenzierbarkeit von f in Richtung [mm] $v=\begin{pmatrix}
x\\
y\\
\end{pmatrix}$ [/mm] am Nullpunkt muss folgender Grenzwert existieren: [mm] \\
[/mm]
[mm] $\lim\limits_{t \rightarrow 0}=\frac{f(\begin{pmatrix}
0\\
0\\
\end{pmatrix} +tv) - f(\begin{pmatrix}
0\\
0\\
\end{pmatrix})}{t}=\lim\limits_{t \rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{txy}}{t}=\lim\limits_{t \rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{xy}}{t^{\frac{2}{3}}}$. [/mm] Für alle x,y [mm] \neq [/mm] 0 strebt dieser Grenzwert offensichtlich gegen [mm] $\infty$. [/mm] Er existiert nur, falls x oder y gleich Null ist, da dann [mm] folgt:$\lim\limits_{t \rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{0}}{t^{\frac{2}{3}}}=0 [/mm] $. Also existiert die Richtungsableitung nur in die Richtung der x bzw. y Achse, also für die partiellen [mm] Ableitungen.\\
[/mm]
$(d)$
Es ist f in [mm] $\begin{pmatrix}
0\\
0\\
\end{pmatrix}$ [/mm] stetig, da $ [mm] f(\begin{pmatrix}
0\\
0\\
\end{pmatrix})= [/mm] 0$ und für beliebige Folgen [mm] x_{n}, y_{n} [/mm] mit [mm] $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_{n}}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{y_{n}}=0$ [/mm] gilt: [mm] \\
[/mm]
[mm] $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{f(x_{n},y_{n}}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[3]{x_{n} \cdot y_{n}}}=0 [/mm] $ Es ist f in [mm] $\begin{pmatrix}
0\\
0\\
\end{pmatrix}$ [/mm] nicht differenzierbar, da wie unter (b) gezeigt die partiellen Ableitungen nicht stetig [mm] sind.\\
[/mm]
Vielen Dank für Korrekturen und Anmerkungen :)
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Hallo Stala,
mal vorab eine Randnotiz zu möglichen Definitionen der 3. Wurzel:
> Es sei [mm]f: \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}= \sqrt[3]{xy}[/mm]
> definiert.
> a) Untersuchen Sie auf partielle Differenzierbarkeit an
> allen Punkten [mm]\vektor{a \\ b} \in \mathbb{R}^{2} \setminus \vektor{0 \\ 0}.[/mm]
>
> b) Untersuchen Sie auf totale Diffenrenzierbarkeit für
> alle[mm] \vektor{a \\ b} \in \mathbb{R}^{2} \setminus \vektor{0 \\ 0}.[/mm]
>
> c) Untersuchen Sie die Richtungsableitung für den Vektor
> [mm]v \in \mathbb{R}[/mm] im Punkt [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm]
> d) Ist f in
> [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] stetig und differenzierbar?
> Ich tue mich mit der Diffenrenziation hier etwas schwer
> und das Ganze ist in meinem Skript so ohne gute Beispiele
> dargestellt, sodass ich gern einmal meine Lösung
> präsentieren würde. Ich bin mir vor allem für die
> Grenzbereiche mit x=0 bzw y=0 und entsprechend für den
> Punkt [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] sehr unsicher.
Das ist verständlich. Vielleicht ändert es sich, wenn Du eine andere Definition zugrundelegst.
> [mm](a)[/mm]
> Nach der Definition der Wurzel ist diese nur für
> positive Zahlen definiert.
Das stimmt.
Aber gerade bei ungeraden Wurzeln (im Reellen) verwenden viele eine erweiterte Definition. Ich habe Grund zu der Annahme, dass diese hier vorausgesetzt wird.
Das hätte dann allerdings m.E. in der Aufgabe mit angegeben sein müssen. Da das nicht der Fall ist, sind wir doch auf ein wenig Raten angewiesen - keine gute Situation in der Mathematik.
Häufig wird jedenfalls auch dies angenommen:
Sei [mm] n\in\IN [/mm] und [mm] x,r\in\IR [/mm] und [mm] r^{2n-1}=x
[/mm]
Dann definieren wir [mm] \wurzel[2n-1]{x}=sgn{(x)}*\wurzel[2n-1]{|x|}
[/mm]
Damit macht Deine Aufgabe jedenfalls mehr Sinn.
Beispiel: [mm] \wurzel[3]{-8}=sgn{(-8)}*\wurzel[3]{|-8|}=(-1)*2=-2
[/mm]
Grüße
reverend
> Also ist die Funktion f nur
> definiert für [mm]$\begin{pmatrix}
a\\
b\\
\end{pmatrix}[/mm] [mm]mit[/mm][mm] a\cdot[/mm] b [mm]\geq[/mm] 0[mm] und somit kann f auch nur für diese[/mm][mm] \begin{pmatrix}
a\\
b\\
\end{pmatrix}$[/mm]
> partiell differenzierbar sein. Sei nun y als fester
> Parameter gewählt, also y=b Dann ist [mm]$f(x,b)=\sqrt[3]{xb}$[/mm]
> und somit nach den Regeln der Differenziation für
> Abbildungen von [mm]$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$[/mm] in allen
> Punkten mit x [mm]\neq[/mm] 0 differenzierbar. Also gilt:
> [mm]$D_{1}f(x,y)=\frac{\sqrt[3]{y}}{3\cdot x^{\frac{2}{3}}}$.[/mm]
> Ist y=0 so ergibt sich: f(x,0)=0 und somit [mm]$D_{1}f(x,0)=0$[/mm]
> für alle $x [mm]\in \mathbb{R}$.[/mm] Zusammengefasst also: [mm]\\[/mm]
> [mm]$D_{1}f(x,y)= \begin{cases}
\frac{\sqrt[3]{y}}{3\cdot x^{\frac{2}{3}}} & x,y \neq 0, x\cdot y>0\\
0 & y=0 \\
\end{cases} \\$[/mm]
>
> Für die partielle Ableitung nach y folgt völlig
> [mm]analog:\\[/mm]
> [mm]$D_{2}f(x,y)= \begin{cases}
\frac{\sqrt[3]{x}}{3\cdot y^{\frac{2}{3}}} & x,y \neq 0, x\cdot y>0 \\
0 & x=0 \\
\end{cases} \\$[/mm]
>
> [mm](b)[/mm]
> Die Funktion f ist dort total differenzierbar, an denen
> die partiellen Ableitungen existieren und stetig sind.
> Diese existieren für alle x,y [mm]\neq[/mm] 0, [mm]x\cdot[/mm] y>0 und sind
> in diesen Punkten auch stetig, da es sich bei [mm]D_{1}f(x,y)[/mm]
> und [mm]D_{2}f(x,y)[/mm] um rationale Funktionen handelt und diese
> für diese Menge definiert sind. An den Punkten mit x=0
> bzw. y=0 sind die Funktionen nicht stetig, da
> [mm]D_{1}f(x,0)=D_{2}f(0,y)=0[/mm] aber [mm]\lim\limits_{y \rightarrow 0}{f(D_{1}f(x,y))}= \lim\limits_{x \rightarrow 0}{f(D_{2}f(x,y))}= \infty[/mm]
> Somit gilt: [mm]f'(x,y)= ( \frac{\sqrt[3]{y}}{3\cdot x^{\frac{2}{3}}}, \frac{\sqrt[3]{x}}{3\cdot y^{\frac{2}{3}}})[/mm]
> für alle
> [mm]x,y \neq 0, x\cdot y>0[/mm] [mm]\\[/mm]
>
> [mm](c)[/mm]
> Für eine Differenzierbarkeit von f in Richtung
> [mm]$v=\begin{pmatrix}
x\\
y\\
\end{pmatrix}$[/mm] am Nullpunkt muss folgender
> Grenzwert existieren: [mm]\\[/mm]
> [mm]$\lim\limits_{t \rightarrow 0}=\frac{f(\begin{pmatrix}
0\\
0\\
\end{pmatrix} +tv) - f(\begin{pmatrix}
0\\
0\\
\end{pmatrix})}{t}=\lim\limits_{t \rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{txy}}{t}=\lim\limits_{t \rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{xy}}{t^{\frac{2}{3}}}$.[/mm]
> Für alle x,y [mm]\neq[/mm] 0 strebt dieser Grenzwert
> offensichtlich gegen [mm]$\infty$.[/mm] Er existiert nur, falls x
> oder y gleich Null ist, da dann [mm]folgt:$\lim\limits_{t \rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{0}}{t^{\frac{2}{3}}}=0[/mm]
> $. Also existiert die Richtungsableitung nur in die
> Richtung der x bzw. y Achse, also für die partiellen
> [mm]Ableitungen.\\[/mm]
>
> [mm](d)[/mm]
> Es ist f in [mm]$\begin{pmatrix}
0\\
0\\
\end{pmatrix}[/mm] [mm]stetig, da[/mm] [mm]f(\begin{pmatrix}
0\\
0\\
\end{pmatrix})=[/mm] 0$ und für beliebige Folgen
> [mm]x_{n}, y_{n}[/mm] mit [mm]$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_{n}}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{y_{n}}=0$[/mm]
> gilt: [mm]\\[/mm]
> [mm]$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{f(x_{n},y_{n}}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[3]{x_{n} \cdot y_{n}}}=0[/mm]
> $ Es ist f in [mm]$\begin{pmatrix}
0\\
0\\
\end{pmatrix}$[/mm] nicht differenzierbar, da wie
> unter (b) gezeigt die partiellen Ableitungen nicht stetig
> [mm]sind.\\[/mm]
>
>
> Vielen Dank für Korrekturen und Anmerkungen :)
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:48 Sa 26.03.2016 | | Autor: | Stala |
| Aufgabe | Es sei $ f: [mm] \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}= \sqrt[3]{xy} [/mm] $ definiert Es gelte: [mm] \wurzel[3]{xy}=sgn{(xy)}*\wurzel[3]{|xy|} [/mm]
a) Untersuchen Sie auf partielle Differenzierbarkeit an allen Punkten [mm] $\vektor{a \\ b} \in \mathbb{R}^{2} \setminus \vektor{0 \\ 0}.$
[/mm]
b) Untersuchen Sie auf totale Diffenrenzierbarkeit für alle$ [mm] \vektor{a \\ b} \in \mathbb{R}^{2} \setminus \vektor{0 \\ 0}.$
[/mm]
c) Untersuchen Sie die Richtungsableitung für den Vektor $ v [mm] \in \mathbb{R} [/mm] $ im Punkt [mm] $\vektor{0 \\ 0}$
[/mm]
d) Ist f in [mm] $\vektor{0 \\ 0} [/mm] $ stetig und differenzierbar? |
Hallo reverend,
vielen Dank schon einmal für den Hinweis. Das macht Sinn, und vereinfacht das Ganze auch etwas, weil ich dann die Bedingung xy> 0 streichen kann. Wurde vielleicht auch schon einmal implizit im Skript genutzt, aber leider nie so exakt definiert.
Aber im Grundsatz müsste es doch bei dem bleiben, oder? Ich hab es mal in die Aufgabenstellung eingefügt.
a)Eigentlich muss ich den Fall y [mm] \neq [/mm] 0 gar nicht extra erwähnen, sodass man für diepartielle Abelitung findet:
[mm]D_{1}f(x,y)=\frac{\sqrt[3]{y}}{3\cdot x^{\frac{2}{3}}}.[/mm]
für alle x [mm] \neq [/mm] 0
Für die partielle Ableitung nach y folgt völlig
analog:
[mm]D_{2}f(x,y)=
\frac{\sqrt[3]{x}}{3\cdot y^{\frac{2}{3}}}, \\
[/mm] für y [mm] \neq [/mm] 0
b) Die Funktion ist somit dort total differenzierbar, wenn x,y [mm] \neq [/mm] 0 , da dann die partiellen Ableitungen beide definiert und stetig sind als rationale Funktionen und es folgt:
[mm]f'(x,y)= ( \frac{\sqrt[3]{y}}{3\cdot x^{\frac{2}{3}}}, \frac{\sqrt[3]{x}}{3\cdot y^{\frac{2}{3}}})[/mm]
für alle x,y [mm] \neq [/mm] 0
c) Hier ändert sich dann ja nichts an meiner vorherigen Lösung, oder?
Mit einer Korrektur eines kleinen Fehlers:
> Für eine Differenzierbarkeit von f in Richtung
> [mm]$v=\begin{pmatrix}
x\\
y\\
\end{pmatrix}$[/mm] am Nullpunkt muss folgender
> Grenzwert existieren: [mm]\\[/mm]
> [mm]$\lim\limits_{t \rightarrow 0}=\frac{f(\begin{pmatrix}
0\\
0\\
\end{pmatrix} +tv) - f(\begin{pmatrix}
0\\
0\\
\end{pmatrix})}{t}=\lim\limits_{t \rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{t^{2}xy}}{t}=\lim\limits_{t \rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{xy}}{t^{\frac{1}{3}}}$.[/mm]
> Für alle x,y [mm]\neq[/mm] 0 strebt dieser Grenzwert
> offensichtlich gegen [mm]$\infty$.[/mm] Er existiert nur, falls x
> oder y gleich Null ist, da dann [mm]folgt:$\lim\limits_{t \rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{0}}{t^{\frac{2}{3}}}=0[/mm]
> $. Also existiert die Richtungsableitung nur in die
> Richtung der x bzw. y Achse, also für die partiellen
> [mm]Ableitungen.\\[/mm]
d) Un hier: Die Stetugkeit ist denke ich klar... f ist im Nullpunkt stetig.
und es existieren die partiellen Ableitungen im Nullpunkt, allerdings ist die Funktion nicht total differenzierbar, da nicht alle Richtungsableitungen existieren, wie unter c) gezeigt.
Macht das so mehr Sinn?
VG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 26.04.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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