Ableitung a^(a^x) < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 Mi 20.06.2012 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | Bilde die erste Ableitung:
a)...
b)...
c)...
d) [mm] f(x)=a^{(a^{x})} [/mm] |
Hey Leute,
also ich weiss, dass [mm] a^{x}=e^{x*ln a} [/mm] ist.
Daraus folgt:
[mm] f(x)=a^{a^{x})}=e^{(e^{x*ln a})*ln a}
[/mm]
Nun versuche ich abzuleiten:
Kettenregel f'(x)=u'(v)*v'(x) mit [mm] u=e^{v} [/mm] und [mm] v=(e^{x*ln a})*ln [/mm] a
[mm] v'(x)=a^{x}*(ln a)^{2}+\bruch{a^{x}*(ln a)^{2}}{a}
[/mm]
[mm] u'=e^{v}
[/mm]
Daraus folgt: [mm] f'(x)=e^{(e^{x*ln a})*ln a}*a^{x}*(ln a)^{2}+\bruch{a^{x}*(ln a)^{2}}{a}
[/mm]
Nun zur Frage, Stimmt das? Oder wo ist der Fehler?
Silfide
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Hallo,
> d) [mm]f(x)=a^{(a^{x})}[/mm]
>
> also ich weiss, dass [mm]a^{x}=e^{x*ln a}[/mm] ist.
>
> Daraus folgt:
>
> [mm]f(x)=a^{a^{x})}=e^{(e^{x*ln a})*ln a}[/mm]
>
Das passt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun versuche ich abzuleiten:
>
> Kettenregel f'(x)=u'(v)*v'(x) mit [mm]u=e^{v}[/mm] und [mm]v=(e^{x*ln a})*ln[/mm]
> a
>
> [mm]v'(x)=a^{x}*(ln a)^{2}+\bruch{a^{x}*(ln a)^{2}}{a}[/mm]
Die Idee mit der Kettenregel ist ja schon richtig, aber dein v'(x) stimmt leider nicht. Tipp: es sieht viel einfacher aus, beachte, dass die Variable x nur genau einmal vorkommt. Von daher dürfte sich eigentlich keine Adddition in die ABleitung einschleichen...
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Mi 20.06.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Diophant,
ja, ich glaube ich weiß schon was falsch ist. Habe ln a abgeleitet und 1/a erhalten allerdings ist ln a hier eine Konstante und bleibt somit erhalten. Korrekt??
Ich überdenke meine Ableitung nochmal und poste die Lösung dann später (zum Raufschauen ... ist nämlich gefühlt schon eine Ewigkeit her, dass ich irgendwas abgeleitet habe).
Silfide
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Do 21.06.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo,
so ich greife jetzt nochmal das Posting auf.
Nun habe ich für [mm] v'(x)=e^{x*ln a}*(ln a)^{2}
[/mm]
Damit ergibt sich dann: [mm] f'(x)=e^{e^{x*ln a}*(ln a)}*e^{x*ln a}*(ln a)^{2}=a^{a^{x}}a^{x}*(ln a)^{2}
[/mm]
Ist das jetzt korrekt??
Silfide
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:04 Do 21.06.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo,
>
> so ich greife jetzt nochmal das Posting auf.
>
> Nun habe ich für [mm]v'(x)=e^{x*ln a}*(ln a)^{2}[/mm]
>
> Damit ergibt sich dann: [mm]f'(x)=e^{e^{x*ln a}*(ln a)}*e^{x*ln a}*(ln a)^{2}=a^{a^{x}}a^{x}*(ln a)^{2}[/mm]
ja das stimmt.
>
> Ist das jetzt korrekt??
>
> Silfide
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Do 21.06.2012 | | Autor: | silfide |
Super, danke ... nu traue ich mich auch an die Anderen ran ...
Silfide
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Fr 22.06.2012 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | | c) f(x)=(x-floor(x))*(x+floor(x)) |
Hallo Leute,
habe nun doch wieder ein Ableitungsproblem.
Ich weiß einfach nicht was ich mit dieser floor-Funktion machen soll. Also was eine Floorfunktion ist, weiß ich generell, aber wie ich die ableite?? Die Frage ist auch, ob ich die überhaupt ableiten darf. Also ob sie überhaupt Differenzierbar auf ihrem maximalen Definitionsbereich ist.
Aber wie gesagt, ich weiß nicht wie ich mit ihr umgehen soll ....
Silfide
P.S.: Bei meinem ersten Versuch bin ich auf f'(x)=(x+floor(x))+(x-floor(x))=2x. Aber kann das richtig sein??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Fr 22.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
zuallererst solltest du sehen, dass die fkt für alle [mm] x\in \IZ [/mm] unstetig und damit nicht differenzierbar ist, für die anderen x schreib die fkt um und differenzier dann zwischen 2 und 3 hast du z.B [mm] f(x)=x^2-4
[/mm]
aber ich wundere mich doch, warum du die fkt nicht erst mal skizzierst?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 Fr 22.06.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Leduart,
hatte die Funktion geplottet - sah aber so komisch aus... (wie unregelmäßige Zähne, die sich an der y-achse spiegeln). Okay, das hat mich jetzt schon weitergebracht, danke.
silfide
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Di 26.06.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo,
so habe die Fkt. jetzt umgestellt:
[mm] f(x)=(x-floor(x))(x+floor(x))=x^{2}+(floor(x))^{2}.
[/mm]
Wenn ich das ableitet erhalte ich f'(x)=2x+2(floor(x)).
Weiß aber nicht, ob das stimmt.
Meinungen??
Silfide
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Hallo,
die floor-Funktion gibt, auf den differenzierbaren Abschnitten abgeleitet, Null*. Überlege dir mal, weshalb!
Gruß, Diophant
*Sofern du das gleiche darunter verstehst wie ich, nämlich die nächstkleiner Ganzzahl zu x.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Di 26.06.2012 | | Autor: | silfide |
Naja, die Floorfunktion hat ja diese Treppengestalt und ist intervallsmäßig konstant (also z.B. für x zwischen 2 und 2,999 nimmt sie den y-Wert 2 an) und wenn ich es so betrachte, ist die Ableitung natürlich 0.
Deshalb müsste [mm] (floor(x))^2 [/mm] abgeleitet auch Null sein - weil intervallsmäßig konstant, nur keine klassische Treppenform, sondern ehr parabelmäßig (also die Treppen)
Also ist die Ableitung f'(x)= 2x ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 Di 26.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
in den Gebieten wo sie existiert, ja. aber da kannst du sie ja auch einfach als [mm] x^2-c [/mm] schreiben wobei c natürlich vom Intervall abhängz. in (4,5) also -16 ist.
Gruss leduart
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