Ableitung arctan und arccos < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Mi 14.03.2012 | | Autor: | sandy125 |
hallo,
könnte mir jemand die ableitung von arccos nennen?
ich habe dort [mm] 1/-1+x^2
[/mm]
ist das richtig?
und wie kommt man auf die ableitung von arctan?
ich habe ein bisschen im internet nachgeforscht und bekam diesen rechenweg:
[mm] f'(x)=1/tan'(arctanx)^2
[/mm]
[mm] =1/1+(tan(arctan(x))^2
[/mm]
= [mm] 1/1+x^2
[/mm]
doch wie kommt man von [mm] 1/tan'(arctanx)^2 [/mm] auf [mm] 1/1+(tan(arctan(x))^2? [/mm] das verstehe ich gar nicht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> hallo,
> könnte mir jemand die ableitung von arccos nennen?
> ich habe dort [mm]1/-1+x^2[/mm]
> ist das richtig?
[mm] \frac{d}{dx}(arccos(x))=\frac{d}{dx}(cos^{-1}(x))=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
[/mm]
> und wie kommt man auf die ableitung von arctan?
> ich habe ein bisschen im internet nachgeforscht und bekam
> diesen rechenweg:
> [mm]f'(x)=1/tan'(arctanx)^2[/mm]
> [mm]=1/1+(tan(arctan(x))^2[/mm]
> = [mm]1/1+x^2[/mm]
> doch wie kommt man von [mm]1/tan'(arctanx)^2[/mm] auf
> [mm]1/1+(tan(arctan(x))^2?[/mm] das verstehe ich gar nicht.
sagt dir "Ableitung der Umkehrfunktion" etwas ?
[mm] f'(x)=\frac{1}{f'(y)}
[/mm]
-> y=f(x)=arctan(x)
x=f(Y)=tan(y)
[mm] x'=f'(y)=1+tan^2(x)
[/mm]
woraus folgt:
[mm] f'(x)=\frac{1}{1+tan^2{y}}=\frac{1}{1+tan^2({arctan(x)})}=
[/mm]
[mm] =\frac{1}{1+tan({arctan(x)})^{2}}=\frac{1}{1+x^2}
[/mm]
analog funktioniert das obige Bsp.
LG Scherzkrapferl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Mi 14.03.2012 | | Autor: | sandy125 |
woher kommt den dx?
ich habe das so gerechnet:
f'(x)=1/tan'(x)*arccos(x)
= 1/-sin(x)*arccos(x)
=1/wurzel [mm] aus[cos^2(x)-1)*arccos(x)]
[/mm]
=1/wurzel aus [mm] [-1+x^2]
[/mm]
wo ist denn da mein rechenfehler?
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Hallo,
> woher kommt den dx?
[mm] f'(x)=\frac{d}{dx}f(x)
[/mm]
es handelt sich hier um eine andere Schreibweise der 1. Ableitung. Falls ihr dass noch nicht gelernt habt, werdet ihr es sicher bald lernen. das [mm] \frac{d}{dx} [/mm] zeigt dir genau an dass du nach x ableitest.
(wundert mich dass ihr Umkehrfunktionen Ableitet ohne diese Notation zu kennen ..)
> ich habe das so gerechnet:
> f'(x)=1/tan'(x)*arccos(x)
> = 1/-sin(x)*arccos(x)
1.) tan'(x) ist doch nicht der -sin(x) !!! (wenn dann schon [mm] 1+tan^2(x) [/mm] oder [mm] \frac{1}{cos^2(x)})
[/mm]
2.) der tangens hat da nichts verloren - weder sinuns noch kosinus abgeleitet ergeben tangens.... vielleicht hast du auch nur nicht nachvollzogen wie das vorige Beispiel zu lösen ist.
denke an die Fromel dir ich dir vorhin genannt habe : [mm] f'(x)=\frac{1}{f'(y)}
[/mm]
in deinem Bsp haben wir ja:
f(x)=arccos(x)=y
f(y)=cos(x)=x
f'(y)=-sin(x)=x'
Sprich: du weißt dein f(x) also weißt du auch f(y) (also die Umkehrfunktion von f(x)). Die Umkehrfunktion des arccos(x) ist der cos(x).
Also brauchst du nur noch in die, von mir genannte, Formel einsetzten.
> =1/wurzel [mm]aus[cos^2(x)-1)*arccos(x)][/mm]
> =1/wurzel aus [mm][-1+x^2][/mm]
>
> wo ist denn da mein rechenfehler?
[mm] arccos'(x)=\bruch{-1}{sin(arccos(x))}
[/mm]
und da ja bekanntlich [mm] sin^2(x)+cos^2(x)=1 [/mm] gilt folgt daraus dass
[mm] sin(x)=\sqrt{1-cos^2(x)}
[/mm]
setzt du das nun in deine Gleichung ein folgt:
[mm] =\bruch{-1}{\wurzel{1-cos^2(arccos(x))}}=\bruch{-1}{\wurzel{1-(cos(arccos(x)))^2}}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}
[/mm]
LG Scherzkrapferl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:50 Mi 14.03.2012 | | Autor: | sandy125 |
wir haben noch gar nichts gelernt über trigonometrische funktionen. ich schreibe eine facharbeit über dieses thema. bei sinus und kosinus ist das ableiten, die stammfunktion und die umkehrfunktion noch recht leicht..doch bei tangens geht mein latein zu ende.
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Hallo nochmal,
> wir haben noch gar nichts gelernt über trigonometrische
> funktionen.
> ich schreibe eine facharbeit über dieses
> thema.
... das könnte ne "schwere Geburt" werden
> bei sinus und kosinus ist das ableiten, die
> stammfunktion und die umkehrfunktion noch recht
> leicht..doch bei tangens geht mein latein zu ende.
Die Ableitungen des Tangens stehen in JEDEM Schulbuch (zumindest in Österreich), wo Differentialrechnung vorkommt - demnach sicherlich auch in deinem.
MERKE: [mm] tan'(x)=1+tan^2(x)=\frac{1}{cos^2(x)}
[/mm]
ob du [mm] 1+tan^2(x) [/mm] oder [mm] \frac{1}{cos^2(x)} [/mm] verwendest ist grundsätzlich egal. Jedoch sieht man in deinem Bsp. die Vor- und Nachteile ;)
die Ableitungen und Stammfunktionen von sin, cos und tan solltest du, wenn du solch eine Arbeit verfasst, auswendig können. Falls du mal ein naturwissenschaftliches Fach studieren willst, musst du es sowieso lernen ;)
Nochmal zu den 2 Beispielen von oben:
Bitte vollziehe sie komplett nach und falls du etwas nicht verstehst, kannst du mich (sowie alle anderen hier) jederzeit fragen ;) Dafür sind wir da.
Wichtig ist, dass du auch verstehst was in deiner Arbeit steht, und jetzt nicht blind abschreibst, was ich von mir gegeben habe.
Wenn du nicht mal den Tangens korrekt ableiten kannst, solltest du erstmal damit beschäftigen und nicht gleich mit "komplizierten" Ableitungen von Umkehrfunktionen. Vorallem kannst du dann ja auch nicht verstehen was genau ich in meinen Antworten eigentlich getan habe.
Liebe Grüße, Scherzkrapferl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Mi 14.03.2012 | | Autor: | sandy125 |
ich hatte ds falsch abgeschrieben..tut mir leid.
gerechnet habe ich das so:
arctan'(x)=1/(tan)'*(arctan(x))
=1/(1/cos(x))*arctan(x)
=1/arctan(x)/cos(x)
=cos(x)/arctan(x)
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> ich hatte ds falsch abgeschrieben..tut mir leid.
> gerechnet habe ich das so:
> arctan'(x)=1/(tan)'*(arctan(x))
> =1/(1/cos(x))*arctan(x)
> =1/arctan(x)/cos(x)
> =cos(x)/arctan(x)
>
wieder falsch...
[mm] tan'(x)=\frac{1}{cos^2(x)} [/mm] und nicht [mm] \frac{1}{cos(x)} [/mm] !!!
diese Notation bringt dir hier allerdings nicht viel..
Steht allerdings alles in meiner Antwort.. du musst tan'(x)=1+tan(x) verwenden sonst kommst du nicht weiter
liest du meine Antworten eigentlich durch ?
Bring bitte nicht die Beispiele durcheinander. einmal willst du was über arccos'(x) wissen und dann plötzlich wieder über arctan'(x)
Schreibe am besten im Betreff deiner Frage dazu um welches Bsp. es gerade geht. Noch besser wäre natürlich eines nach dem anderen zu besprechen - einfacher für dich und einfacher für mich ;)
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PS: Morgen gehts ab 12.00h in neuer Frische weiter ;)
LG Scherzkrapferl
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