Ableitung bei Wurzelfunktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo ihr Lieben,
meine Frage wird einige von euch Mathe-Genies vielleicht beleidigen, doch trotz dem 2. Semester Studium und meiner Liebe für die Mathematik bin ich mir der Antwort leider einfach nicht sicher. Seit 2 Tagen streite ich mich mit einem Kommilitonen darüber, wie folgende Funktion abgeleitet wird:
[mm] \wurzel{x^5}
[/mm]
er sagt in dem ich einfach die Potenzregel anwende und somit auf das Ergebnis:
[mm] \bruch{5}{2}x^\bruch{3}{2} [/mm] komme.
ich sage, man muss die Kettenregel anwenden, da die elementare Funktion [mm] \wurzel{x} [/mm] durch die innere Funktion [mm] x^5 [/mm] erweitert wurde.
Somit komme ich auf das Ergebnis:
[mm] \bruch{5}{2}x^\bruch{7}{2}
[/mm]
Ist es nicht so, dass bei einer Funktion die nicht mehr x [mm] ^\bruch{1}{2}, [/mm] sondern z. B. [mm] x^\bruch{3}{2} [/mm] heißt, die Kettenregel angewendet werden muss? Und wie ist es eigentlich bei [mm] \wurzel[4]{x}? [/mm] Ist dies eine elementare Funktion oder muss auch hier schon die Kettenregel angewandt werden?
Viele Fragen und die Hoffnung auf eine (oder mehrere) schlüssige Antworten. Herzlichen Dank im Voraus für eure Hilfe...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Di 22.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
im prinzip ist es egal, ob die funktion erst zu [m] x^\frac{5}{2} [/m] umgeschrieben wird und dann nach den potenzgesetzen abgeleitet wird, wonach man wie du richtig bemerkt hast [m] \frac{5}{2} x^\frac{3}{2} = \frac{5}{2} \sqrt{x^3} [/m] erhält oder man mit der kettenregel ableitet. in diesem fall erhält man dann nach der kettenregel mit [m] z = x^5 [/m]
[m] \left( \sqrt{z} \right)' = \frac{1}{2 \sqrt{z}} \cdot z' [/m] und somit wegen $z' = 5 [mm] \cdot x^4$ [/mm] nach dem einsetzen:
[m] \begin{array}{rcl} \left( \sqrt{x^5} \right)' & = & \frac{1}{2 \sqrt{x^5}} \cdot 5 \cdot x^4 \\ & = & \frac{5}{2} \cdot \frac{x^4}{x^\frac{5}{2}} \\ & = & \frac{5}{2} x^\frac{3}{2} \end{array}[/m]
hier sind also verschiedene wege möglich, aber es sollte bei beiden das selbe ergebnis herauskommen, sonst hat man etwas falsch gemacht!
auch bei [mm] $\sqrt[4]{x}$ [/mm] ist die kettenregel nicht unbedingt notwendig, da [mm] $\sqrt[4]{x} [/mm] = [mm] x^\frac{1}{4}$ [/mm] und dies wieder nach der regel für die differentiation von potenzen berechnet werden kann. zur anwendung der kettenregel müsste man auch schon wissen, was die ableiteung von [m] \sqrt[4]{x} [/m] ist und dies ist ja ein spezialfall der regel für die ableitung von potenzen. jedoch sollte man auch hier durch die kettenregel das richtige ergebnis erhalten!
hoffe das ist verständlich, wenn nicht: frag nach!
grüße
andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 Di 22.03.2005 | | Autor: | Nullmatrix |
Vielen Dank für die ausführliche Antwort Andreas, ich bin echt ein Vollidiot..
Falls es dich interessiert, mein Fehler war (wie nicht zum ersten Male):
ich hab die Ableitung der äußeren Funktion nicht als f´(g(x)) sondern als f´(x) berechnet, was dann natürlich nicht zum richtigen Ergebnis führen kann.
Aber irgendwie war mir auch noch nicht klar, dass ich sämtliche x-Werte mit Brüchen im Exponenten auch durch die Potenzregel lösen kann. Hab mich dann immer mit der Kettenregel rumgeschlagen. Aber das hat jetzt ein Ende.
Habe eben zum ersten Mal ein solches Mathe-Forum ausprobiert und bin positiv überrascht, wie schnell und ausführlich einem hier geholfen werden kann. Vielen Dank noch mal, werde diese Möglichkeit sicherlich wieder nutzen.
Und dann mit etwas anspruchsvolleren Aufgaben 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Di 22.03.2005 | | Autor: | Nullmatrix |
x [mm] \bruch{1}{2} [/mm] soll eigentlich [mm] x^\bruch{1}{2} [/mm] in meinem obigen Text heißen...
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