Ableitung bilden < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 Do 21.01.2016 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | Bilde die erste Ableitung nach r von:
h(r) = [mm] \wurzel{r}*a [/mm] - [mm] ln(\bruch{a-r}{r}) [/mm] |
Hallo,
die offizielle Lösung lautet:
h' = [mm] \bruch{a}{2\wurzel{r}} [/mm] - [mm] \bruch{r}{a-r} \bruch{-a}{r^{2}}
[/mm]
Meine Lösung hingegen lautet:
h' = [mm] \bruch{a}{2\wurzel{r}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{a-r} [/mm] + [mm] \bruch{1}{r}
[/mm]
Ich bin auf die Lösung gekommen, indem ich den Ln-Bruch aufgelöst habe in -ln(a-r) + ln(r) und dann alles abgeleitet habe.
Mein Taschenrechner sagt mir, dass beide Ableitungen richtig sind.
Also ich hab in der Taschenrechner konkret eingegeben: [mm] \bruch{r}{a-r} \bruch{a}{r^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a-r} [/mm] + [mm] \bruch{1}{r} [/mm] und da kam TRUE raus.
Wieso habe ich aber eine von der Schreibweise her andere Ableitung erhalten? Wie kommt man auf die offizielle Lösung? Und wieso ist das was ich in den Taschenrechner eingegeben habe, wahr?
Danke!!
LG
Mathics
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Hallo Mathics!
Die "offizielle" Lösung scheint aus stumpfer Anwnedung der Kettenregel zu kommen.
Fasse diese doch mqal zusammen bzw. kürze ... *schwuppdiewupps* ... hast Du auch Dein Ergebnis.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Do 21.01.2016 | | Autor: | Mathics |
Hallo,
wenn ich stumpf die Kettenregel anwende erhalte ich:
[mm] \bruch{a}{2\wurzel{r}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\bruch{a-r}{r}}*(-\bruch{1}{r}-\bruch{a-r}{r^{2}})
[/mm]
Und das weiter gekürzt ergibt doch wieder mein Ergebnis?
LG
Mathics
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:02 Do 21.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> wenn ich stumpf die Kettenregel anwende erhalte ich:
>
> [mm]\bruch{a}{2\wurzel{r}}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{\bruch{a-r}{r}}*(-\bruch{1}{r}-\bruch{a-r}{r^{2}})[/mm]
>
> Und das weiter gekürzt ergibt doch wieder mein Ergebnis?
Ja, fasse schön brav zusammen.
FRED
>
>
> LG
> Mathics
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Do 21.01.2016 | | Autor: | Mathics |
OK, ich glaub, ich hab's.
[mm] \bruch{a}{2\wurzel{r}} -\bruch{1}{\bruch{a-r}{r}}*(-\bruch{1}{r}-\bruch{a-r}{r^{2}})
[/mm]
= [mm] \bruch{a}{2\wurzel{r}} -\bruch{1}{\bruch{a-r}{r}}*(-\bruch{r}{r^{2}}-\bruch{a-r}{r^{2}})
[/mm]
= [mm] \bruch{a}{2\wurzel{r}} -\bruch{r*\bruch{a}{r^{2}}}{a-r}
[/mm]
= [mm] \bruch{a}{2\wurzel{r}} -\bruch{r}{a-r}*\bruch{-a}{r^{2}}
[/mm]
Richtig, oder?
LG
Mathics
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Do 21.01.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> OK, ich glaub, ich hab's.
>
> [mm]\bruch{a}{2\wurzel{r}} -\bruch{1}{\bruch{a-r}{r}}*(-\bruch{1}{r}-\bruch{a-r}{r^{2}})[/mm]#
Hier solltest du ein * statt einem - haben.
Die Ableitung lautet
[mm] \frac{1}{2\cdot\sqrt{r}}-\underbrace{\frac{1}{\frac{a-r}{r}}}_{\text{äuß. Abl.}}\cdot\underbrace{\frac{(-1)\cdot r-1\cdot(a-r)}{r^{2}}}_{\text{inn. Abl., Quotientenr.}}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{2\cdot\sqrt{r}}\cdot\frac{r}{a-r}\cdot\frac{-r-a+r}{r^{2}}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{2\cdot\sqrt{r}}\cdot\frac{r}{a-r}\cdot\frac{-a}{r^{2}}
[/mm]
>
> = [mm]\bruch{a}{2\wurzel{r}} -\bruch{1}{\bruch{a-r}{r}}*(-\bruch{r}{r^{2}}-\bruch{a-r}{r^{2}})[/mm]
>
> = [mm]\bruch{a}{2\wurzel{r}} -\bruch{r*\bruch{a}{r^{2}}}{a-r}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{a}{2\wurzel{r}} -\bruch{r}{a-r}*\bruch{-a}{r^{2}}[/mm]
>
>
> Richtig, oder?
>
> LG
> Mathics
Marius
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