Ableitung cos(x) durch Reihe < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 Mi 11.02.2009 | | Autor: | eldorado |
| Aufgabe | | Benutzen Sie die Reihe von cos, um zu zeigen, dass cos'(x) = 0 |
Hallo,
bin mir nicht sicher ob ich das so machen kann:
cos'(x) = - sin (x)
- sin (x) = - [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{(2k+1)!} x^{2k+1} [/mm] = - ( x - [mm] \bruch{x^{3}}{3!} [/mm] + [mm] \bruch{x^{5}}{5!} \pm [/mm] ...)
für x=0 : - sin (0) = - ( 0 - [mm] \bruch{0^{3}}{3!} [/mm] + [mm] \bruch{0^{5}}{5!} \pm [/mm] ...) = 0
-> cos'(0)=0
geht das so?
allerdings hab ich ja jetzt die reihe von sin und nicht die von cos verwendet...?
danke schon mal für antworten
lg eldorado
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Hallo eldorado!
Du hast den Knackpunkt selber erkannt. Formuliere die Reihendarstellung für den [mm] $\cos(x)$ [/mm] und leite diese Potenzreihe ab.
Anschließend den Wert [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ einsetzen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Mi 11.02.2009 | | Autor: | eldorado |
> Hallo eldorado!
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> Du hast den Knackpunkt selber erkannt. Formuliere die
> Reihendarstellung für den [mm]\cos(x)[/mm] und leite diese
> Potenzreihe ab.
ah ok danke, also so:
cos (x) = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} \bruch{x^{2k}}{2k!}
[/mm]
cos '(x)= [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (2k!)(-1)^{k} \bruch{2kx^{2k-1}}{(2k!)^{2}} [/mm] = 0 -x [mm] +\bruch{x^{3}}{3} \mp [/mm] ...
> Anschließend den Wert [mm]x_0 \ = \ 0[/mm] einsetzen.
also cos'(0)=0
oder?
lg eldorado
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Mi 11.02.2009 | | Autor: | eldorado |
die summe muss natürlich bei k=0 beginnen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:01 Mi 11.02.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo eldorado,
die Reihe für die Ableitung beginnt besser nicht bei k=0, weil Du sonst ein unrichtiges Glied in der Summe hast, das den Faktor [mm] x^{2*0-1}=x^{-1}=\bruch{1}{x} [/mm] enthält.
Grüße,
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Mi 11.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
fast richtig. Die Summe bei cos' faengt aber bei 1 an, entgegen deiner Mitteilung. Und warum hast du die Summanden mit (2k!) erweitert? das sieht komisch aus?
Um zu zeigen, dass cos'(0)=0 klammert man am besten x aus der Summe aus.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Mi 11.02.2009 | | Autor: | eldorado |
Hallo
danke, aber ein paar sachen versteh ich leider nicht
> Hallo
> fast richtig. Die Summe bei cos' faengt aber bei 1 an,
warum darf ich die summe bei der ableitung einfach bei 1 beginnen lassen? die reihe vom cos beginnt doch auch bei 0? sorry wenn die frage blöd ist, aber versteh ich grad nicht
>Und warum hast du die Summanden
> mit (2k!) erweitert? das sieht komisch aus?
oh stimmt
> Um zu zeigen, dass cos'(0)=0 klammert man am besten x aus
> der Summe aus.
> Gruss leduart
lg eldorado
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Mi 11.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
> danke, aber ein paar sachen versteh ich leider nicht
>
> > Hallo
> > fast richtig. Die Summe bei cos' faengt aber bei 1 an,
> warum darf ich die summe bei der ableitung einfach bei 1
> beginnen lassen? die reihe vom cos beginnt doch auch bei 0?
> sorry wenn die frage blöd ist, aber versteh ich grad nicht
Schreib mal eine Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n [/mm] hin und dann ihre Ableitung. Dann siehst Du es.
FRED
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> >Und warum hast du die Summanden
> > mit (2k!) erweitert? das sieht komisch aus?
> oh stimmt
> > Um zu zeigen, dass cos'(0)=0 klammert man am besten x aus
> > der Summe aus.
> > Gruss leduart
> lg eldorado
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Mi 11.02.2009 | | Autor: | eldorado |
ahh logisch
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} z^{n}= a_{0} [/mm] + [mm] a_{1} z^{1} [/mm] + ...
beim differenzieren fällt ja das erste glied weg
oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Mi 11.02.2009 | | Autor: | fred97 |
So ist es
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 Mi 11.02.2009 | | Autor: | eldorado |
ok! vielen dank für die schnelle hilfe, ihr seid echt super
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