Ableitung der Funktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion [mm] y=\wurzel{x+\wurzel{x}} [/mm] in ihrem Definitionsbereich. |
So habe ich angefangen:
[mm] y'=\wurzel{x+x^\bruch{1}{2}}=\bruch{1/2}{2}\wurzel{x^-^1+x^-^\bruch{1}{2}}=\bruch{1}{4}\wurzel{x^-^1+x^-^\bruch{1}{2}}
[/mm]
Richtig oder doch nicht ?! ... jedenfalls weiß ich nicht mehr weiter :(
Vielen Dank im Voraus,
prikolshik
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:50 Di 26.05.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Stimmt leider nicht. Sieht auch so aus, als wenn du nur unter der großen Wurzel ableiten wolltest und die Wurzel einfach so stehengelassen hast.
Aber x abgeleitet ist auch nicht [mm] x^{-1}!
[/mm]
Du hast hier eine Verkettung $f(g(x))$ mit [mm] f(x)=\wurzel{x} [/mm] und [mm] g(x)=x+\wurzel{x}.
[/mm]
Und man leitet Verkettungen so ab: $(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)$ (Kettenregel).
In deinem Fall:
[mm] f(x)=\wurzel{x}=x^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}=\bruch{1}{2*\wurzel{x}}
[/mm]
$f'(g(x))=...$
[mm] g(x)=x+\wurzel{x}.
[/mm]
$g'(x)=...$
Dann nur noch in die Formel einsetzen.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Hi und danke für die Antwort.
Das Ableitung der Fkt [mm] f(x)=\wurzel{x+\wurzel{x}} [/mm] soll angeblich [mm] f'(x)=\bruch{1}{4}*\bruch{2\wurzel{x}+1}{\wurzel{x+\wurzel{x}}*\wurzel{x}} [/mm] sein.
Die Einleitung von Vorhin war hilfreich und verständlich jedoch habe ich es nicht geschaft weiter zu kommen und zu dem o.g. Ergebnis kommen. Vielleicht kannst du die Ableitung zu ende machen.
Im Voraus dankend,
prikolshik
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Di 26.05.2009 | | Autor: | Teufel |
Wenn du die Kettenregel anwendest, solltest du [mm] f'(x)=\bruch{1+\bruch{1}{2*\wurzel{x}}}{2*\wurzel{x+\wurzel{x}}} [/mm] bekommen. Hattest du das? Wenn ja, würde das auch stimmen.
Zum angegebenen Ergebnis kommt man, wenn man den Bruch mit [mm] 2*\wurzel{x} [/mm] erweitert!
Teufel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:14 Di 26.05.2009 | | Autor: | prikolshik |
Perfekt! ... Besten Dank! ... Habe genau das Selbe als Ergebnis!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Di 26.05.2009 | | Autor: | Teufel |
Immer wieder gerne!
Teufel
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| Aufgabe | Um das Erlernte etwas zu vertiefen habe ich versucht ein ähnlich schwere Fkt abzuleiten
[mm] f(x)=\wurzel{3x^2+\wurzel{4x}} [/mm] |
[mm] f'(x)=\bruch{6x+\bruch{1}{2\wurzel{4x}}}{2\wurzel{3x^2+\wurzel{4x}}}
[/mm]
Ist es richtig?!
Danke im Voraus,
prikolishik
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Hallo prikolshik,
> Um das Erlernte etwas zu vertiefen habe ich versucht ein
> ähnlich schwere Fkt abzuleiten
>
> [mm]f(x)=\wurzel{3x^2+\wurzel{4x}}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\bruch{6x+\bruch{1}{2\wurzel{4x}}}{2\wurzel{3x^2+\wurzel{4x}}}[/mm]
>
> Ist es richtig?!
Das ist fast ganz richtig, du hast nur eine Kleinigkeit "unterschlagen", nämlich die innere Ableitung von der inneren Ableitung 
Der Term unter der großen Wurzel wird - das hast du richtig erkannt - gem. Summenregel abgeleitet, der hintere selbst aber wieder per Kettenregel, also (nur den Ausdruck unter der Wurzel genommen):
[mm] $6x+\frac{1}{2\cdot{}\sqrt{4x}}\red{\cdot{}4}$
[/mm]
Flicke das mal bei, der Rest stimmt ...
>
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> Danke im Voraus,
> prikolishik
LG
schachuzipus
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