Ableitung der Umkehrfunktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Injektive Funktion mit y=f(x) sei bekannt dass gelte:
[mm] f'(x)=-f^2(x)-f(x)
[/mm]
1)Bestimmung der Ableitung g'(y) der Umkehrfunktion g(y)=x mittels Verfahren "Ableitung der Umkehrfunktion"
2) Integration der ermittelten Funktion erhalt einer Funktionschar. Bestimmen sie g(y) mit C=0 |
Hallo,
Ich hänge bei der Aufgabe und brauche hilfe, und zwar:
1) [mm] f'(x)=-f^2(x)-f(x)
[/mm]
Bekannt: x=g(y)
y=f(x)
[mm] g'(y)=\bruch{1}{f'(g(y))} [/mm] = [mm] \bruch{1}{-f^2(g(y))-f(g(y))}=\bruch{1}{-y^2-y}
[/mm]
[mm] g'(y)=\bruch{1}{-y^2-y}
[/mm]
Ist das richtig ?
[mm] 2)g'(y)=\bruch{1}{-y^2-y}
[/mm]
[mm] g(y)=\integral_{}^{}{\bruch{1}{-y^2-y} dy}=ln(y-1)-ln(y) [/mm] + 0
Wie kommt man da genau auf ln(y-1)-ln(y) ? Hab das von wolfram
lG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Di 11.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Injektive Funktion mit y=f(x) sei bekannt dass gelte:
> [mm]f'(x)=-f^2(x)-f(x)[/mm]
>
> 1)Bestimmung der Ableitung g'(y) der Umkehrfunktion g(y)=x
> mittels Verfahren "Ableitung der Umkehrfunktion"
> 2) Integration der ermittelten Funktion erhalt einer
> Funktionschar. Bestimmen sie g(y) mit C=0
> Hallo,
>
> Ich hänge bei der Aufgabe und brauche hilfe, und zwar:
> 1) [mm]f'(x)=-f^2(x)-f(x)[/mm]
> Bekannt: x=g(y)
> y=f(x)
> [mm]g'(y)=\bruch{1}{f'(g(y))}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{-f^2(g(y))-f(g(y))}=\bruch{1}{-y^2-y}[/mm]
> [mm]g'(y)=\bruch{1}{-y^2-y}[/mm]
> Ist das richtig ?
Ja
>
> [mm]2)g'(y)=\bruch{1}{-y^2-y}[/mm]
> [mm]g(y)=\integral_{}^{}{\bruch{1}{-y^2-y} dy}=ln(y-1)-ln(y)[/mm] +
> 0
> Wie kommt man da genau auf ln(y-1)-ln(y) ? Hab das von
> wolfram
Das stimmt nicht. Mit Partialbruchzerlegung kommt man auf [mm] \bruch{1}{-y^2-y}= \bruch{1}{y+1}-\bruch{1}{y}
[/mm]
Jetzt integrieren.
FRED
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> lG
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2) g(y)=ln(y+1)-ln(y)
3) Ermittlen Sie anschliessend von g(y) eine Darstellung der Funktion f(x) mit maximalen Defintionsbereich.
g(y)=ln(y+1)-ln(y)
[mm] g(y)=ln(\bruch{y+1}{y})
[/mm]
[mm] x=ln(\bruch{y+1}{y})
[/mm]
[mm] e^x=e^{ln(\bruch{y+1}{y})}
[/mm]
[mm] e^x=\bruch{y+1}{y}
[/mm]
[mm] e^x=\bruch{y}{y} [/mm] + [mm] \bruch{1}{y}
[/mm]
[mm] e^x=\bruch{1}{y}
[/mm]
[mm] e^x=\bruch{1}{f(x)}
[/mm]
[mm] f(x)=\bruch{1}{e^x}
[/mm]
Probe:
f'(x)=-e^(-x)
[mm] f'(x)=?-f^2(x)-f(x)
[/mm]
[mm] -e^{-x}=-(\bruch{1}{e^x})^2-\bruch{1}{e^x}
[/mm]
-e^(-x)=-e^(-2x)-e^(-x)
-e^(-x)=!-e(-x)
So ?
lg
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Hallo elektroalgebra93,
> 2) g(y)=ln(y+1)-ln(y)
>
> 3) Ermittlen Sie anschliessend von g(y) eine Darstellung
> der Funktion f(x) mit maximalen Defintionsbereich.
> g(y)=ln(y+1)-ln(y)
> [mm]g(y)=ln(\bruch{y+1}{y})[/mm]
> [mm]x=ln(\bruch{y+1}{y})[/mm]
> [mm]e^x=e^{ln(\bruch{y+1}{y})}[/mm]
> [mm]e^x=\bruch{y+1}{y}[/mm]
> [mm]e^x=\bruch{y}{y}[/mm] + [mm]\bruch{1}{y}[/mm]
> [mm]e^x=\bruch{1}{y}[/mm]
Hier muss es doch lauten:
[mm]e^x=\blue{1}+\bruch{1}{y}[/mm]
> [mm]e^x=\bruch{1}{f(x)}[/mm]
> [mm]f(x)=\bruch{1}{e^x}[/mm]
>
> Probe:
> f'(x)=-e^(-x)
> [mm]f'(x)=?-f^2(x)-f(x)[/mm]
> [mm]-e^{-x}=-(\bruch{1}{e^x})^2-\bruch{1}{e^x}[/mm]
> -e^(-x)=-e^(-2x)-e^(-x)
> -e^(-x)=!-e(-x)
>
> So ?
>
> lg
Gruss
MathePower
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>
> Hier muss es doch lauten:
>
> [mm]e^x=\blue{1}+\bruch{1}{y}[/mm]
>
Ja stimmt..
Aber dann haut es bei mir mit der Probe nicht mehr hin..
[mm] f'(x)=?-f^2(x)-f(x)
[/mm]
[mm] -e^{-x}=-(1+\bruch{1}{e^x})^2-(1+\bruch{1}{e^x})
[/mm]
[mm] -e^{-x}=-(1+e^{-x})^2-1-e^{-x}
[/mm]
-e^(-x)=-(1+2*e^(-x)+e^(-2*x))-1-e^(-x)
-e^(-x)=-1-2e^(-x)-e^(-2x)-1-e^(-x)
Aber da komm ich doch gar nicht auf mein -e^(-x) raus?!
lg
EDIT: Weiss jetzt wo mein Fehler liegt, ganz am Anfang, da hab ich falsch umgerechnet, bei [mm] e^x=1+1/f(x)
[/mm]
Doch nicht die Fehlerursache..
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Hallo elektroalgebra93,
> >
> > Hier muss es doch lauten:
> >
> > [mm]e^x=\blue{1}+\bruch{1}{y}[/mm]
> >
>
> Ja stimmt..
> Aber dann haut es bei mir mit der Probe nicht mehr hin..
> [mm]f'(x)=?-f^2(x)-f(x)[/mm]
> [mm]-e^{-x}=-(1+\bruch{1}{e^x})^2-(1+\bruch{1}{e^x})[/mm]
> [mm]-e^{-x}=-(1+e^{-x})^2-1-e^{-x}[/mm]
> -e^(-x)=-(1+2*e^(-x)+e^(-2*x))-1-e^(-x)
> -e^(-x)=-1-2e^(-x)-e^(-2x)-1-e^(-x)
> Aber da komm ich doch gar nicht auf mein -e^(-x) raus?!
>
Es ist doch [mm]f\left(x\right)=\bruch{1}{e^{x}-1}[/mm]
> lg
> EDIT: Weiss jetzt wo mein Fehler liegt, ganz am Anfang, da
> hab ich falsch umgerechnet, bei [mm]e^x=1+1/f(x)[/mm]
> Doch nicht die Fehlerursache..
Gruss
MathePower
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Also:
[mm] f'(x)=?-f^2(x)-f(x)
[/mm]
[mm] \bruch{-e^x}{(e^x-1)^2}=-(\bruch{1}{e^x-1})^2-\bruch{1}{e^x-1}
[/mm]
[mm] \bruch{-e^x}{(e^x-1)^2}=-\bruch{1}{e^{2x} -2e^x+1}-\bruch{1}{e^x-1}
[/mm]
[mm] \bruch{-e^x}{e^{2x} -2e^x+1}=-\bruch{1}{e^{2x} -2e^x+1}-\bruch{e^x-1}{(e^x-1)*(e^x-1)}
[/mm]
[mm] \bruch{-e^x}{e^{2x} -2e^x+1}=\bruch{-1-e^x+1}{e^{2x} -2e^x+1}
[/mm]
[mm] \bruch{-e^x}{e^{2x} -2e^x+1}=!\bruch{-e^x}{e^{2x} -2e^x+1}
[/mm]
So jetzt aber!
Vielen dank, lG
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