Ableitung der Umkehrfunktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Fr 18.05.2007 | | Autor: | E-Storm |
| Aufgabe | i) Zeige die Umkehrfunktion des Sinus Hyperbolicus und berechne die Ablietung der Umkehrfunktion.
ii) Zeige, dass der Cosinus Hyperbolicus auf R+ umkehrbar ist, und berechne die Ableitung der dazugehörigen Umkehrfunktion.
Hinweis: Zeige zunächst cosh(x)² = 1 + sinh(x)² für alle reellen x. |
1. zum Hinweis : Ich hab es probiert mit der e-Funktion nachzuweisen,
cosh² x = sindh² x + 1
( [mm] e^x [/mm] + e^-x / 2 [mm] )^2 [/mm] = ( [mm] e^x [/mm] - e^-x / 2 [mm] )^2 [/mm] + 1
... = ....
[mm] e^x [/mm] + e^-x = [mm] e^x [/mm] - e^-x + 2 wie kann man das weiter auflösen oder besser wie kann ich zeigen, dass es gleich ist ???
2. zu i) Wie zeige ich denn die Umkehrfunktion vom sinh ?
MfG Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Fr 18.05.2007 | | Autor: | wauwau |
sinh(x)= [mm] \bruch{e^x-e^{-x}}{2}
[/mm]
Umkehrfunktion
setze mal [mm] e^x=z [/mm] dann gilt
[mm] y=\bruch{z-\bruch{1}{z}}{2}
[/mm]
Löse diese quadrat. Gleichung nach z auf
dann ist die Umkehrfunktion gleich ln(z)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Mo 21.05.2007 | | Autor: | E-Storm |
Also so richtig bin ich noch nicht weitergekommen mit meiner Aufgabenstellung, zwar schon ein Stückchen weiter mit dem [mm] e^x [/mm] = z zu setzen, jedoch fehlt mir immernoch der Ansatz wie ich die Aufgabenstellung lösen kann, ich hoffe mir kann da einer einen guten Tipp geben, was ich zu tun habe und wie ich es zeigen kann.
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Hi,
zu dem Beweis des Hinweises:
zz: [mm] $\cosh^2(x)=1+\sinh^2(x)\gdw\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$
[/mm]
Nun einfach einsetzen und die binomische Formel anwenden:
[mm] $\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2-\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^2=\frac{1}{4}(e^{2x}+2e^xe^{-x}+e^{-2x})-\frac{1}{4}(e^{2x}-2e^xe^{-x}+e^{-2x})$
[/mm]
Hier [mm] \frac{1}{4} [/mm] ausklammern und zusammenfassen
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:17 Di 22.05.2007 | | Autor: | wauwau |
aus meiner Substitutionsgelichung folg
[mm]z\ne 0[/mm]
[mm]z^2-2yz-1=0[/mm]
daher [mm]z_{1,2}=y \pm \wurzel{y^2+1}[/mm]
dh bei - gibts keinen ln daher
[mm]arsinh(y)= ln(y + \wurzel{y^2+1})[/mm]
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