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Forum "HochschulPhysik" - Ableitung der Wellenfunktion
Ableitung der Wellenfunktion < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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Ableitung der Wellenfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:21 Mo 19.04.2010
Autor: mb588

Aufgabe
Hab keine direkte Aufgabe nur mal ein Verständnisproblem.

[mm] \partial_{t}\Psi(x+vt,t)= [/mm] ?

Halli hallo.
Also ich möchte die Wellenfunktion nach der Zeit ableiten. Dabei weiß ich nur das sie irgendwie nach von x+vt und t abhängt. Mich verwirrt jetzt nur das es zwei Argumente sind. Bei [mm] \partial_{t}\Psi(x+vt) [/mm] wäre es klar, dann wäre die Lösung [mm] \partial_{t}\Psi(x+vt)v [/mm] oder nicht?
Wie muss ich denn jetzt mit diesen zwei Argumenten umgehen? Vllt unter Verwendung der Produktregel?

        
Bezug
Ableitung der Wellenfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:48 Mo 19.04.2010
Autor: rainerS

Hallo!

> Hab keine direkte Aufgabe nur mal ein Verständnisproblem.
>  
> [mm]\partial_{t}\Psi(x+vt,t)=[/mm] ?
>  Halli hallo.
>  Also ich möchte die Wellenfunktion nach der Zeit
> ableiten. Dabei weiß ich nur das sie irgendwie nach von
> x+vt und t abhängt. Mich verwirrt jetzt nur das es zwei
> Argumente sind. Bei [mm]\partial_{t}\Psi(x+vt)[/mm] wäre es klar,
> dann wäre die Lösung [mm]\partial_{t}\Psi(x+vt)v[/mm] oder nicht?

Du verwechselst da etwas. Es geht um die zeitabhängige eindimensionale Wellenfunktion, die also von Ort und Zeit abhängt. Nur ist in diesem Fall die Ortskoordinate wieder von der Zeit abhängig. Du musst daher aufpassen, ob du die partielle Ableitung der Funktion [mm] $\Psi$ [/mm] nach der Zeit nimmst, oder die partielle Ableitung des gesamten Ausdrucks.

Geht es also um

  [mm](\partial_t \Psi)(x+vt,t) [/mm]

oder um

  [mm] \partial_{t} (\Psi(x+vt,t)) [/mm] ?

[mm] \partial_{t} (\Psi(x+vt,t))[/mm] ist die partielle Zeitableitung des Ausdrucks [mm] $\Psi(x+vt,t)$, [/mm] während [mm] $(\partial_t \Psi)$ [/mm] die partielle Ableitung der Funktion [mm] $\Psi$ [/mm] nach ihrem zweiten Argument bedeutet, wobei nach dem Berechnung der Ableitung der Ausdruck $x+vt$ für die Ortskoordinate eingesetzt wird.

>  Wie muss ich denn jetzt mit diesen zwei Argumenten
> umgehen? Vllt unter Verwendung der Produktregel?

Kettenregel. Du musst der Reihe nach ableiten:

[mm] \partial_{t} (\Psi(x+vt,t)) = (\partial_x \Psi)(x+vt)* \partial_t(x+vt) + (\partial_t \Psi)(x+vt,t) = v (\partial_x \Psi)(x+vt) + (\partial_t \Psi)(x+vt,t)[/mm] .

  Viele Grüße
    Rainer



Bezug
                
Bezug
Ableitung der Wellenfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:47 Di 20.04.2010
Autor: mb588

Hallo.
Also ich denke es geht um [mm] \partial_{t}(\Psi(x+vt,t)). [/mm] Schreibt man das nicht üblicherweise nur als [mm] \partial_{t}\Psi(x+vt,t)? [/mm]

Ok soweit erstmal etwas klarer.

> [mm]\partial_{t} (\Psi(x+vt,t)) = (\partial_x \Psi)(x+vt)* \partial_t(x+vt) + (\partial_t \Psi)(x+vt,t) = v (\partial_x \Psi)(x+vt) + (\partial_t \Psi)(x+vt,t)[/mm]

Könntest du mir vllt noch die beiden Summanden erklären und wie und warum das plötzlich ein [mm] \partial_{x} [/mm] mit rein kommt?



Bezug
                        
Bezug
Ableitung der Wellenfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:36 Di 20.04.2010
Autor: mathfunnel

Hallo mb588,

vielleicht macht es Folgendes klarer:

Wir definieren die Funktion $g: [mm] \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ [/mm] durch $g(x,t) = [mm] (g_1(x,t),g_2(x,t))= [/mm] (x+vt,t)$ und
betrachten  [mm] $\partial_t\Phi(x,t)$ [/mm]

Dann ist [mm] $\partial_t\Phi(x,t) [/mm] = [mm] \partial_t(\Psi \circ [/mm] g)(x,t)= [mm] \partial_t(\Psi(g_1(x,t), g_2(x,t))) [/mm] =  [mm] \partial_t g_1(x,t)\cdot(\partial_{x}\Psi)(g_1(x),g_2(x)) [/mm] + [mm] \partial_t g_2(x,t)\cdot (\partial_{t}\Psi)(g_1(x),g_2(x))= [/mm]
[mm] v\cdot(\partial_{x}\Psi)(x+vt,t) [/mm] + [mm] (\partial_{t}\Psi)(x+vt,t)$ [/mm] aufgrund der Kettenregel.

Dein Originalausdruck ist eine partielle Ableitung, für die  [mm] $\partial_{t}\Psi(x+vt,t) [/mm] = [mm] \partial_{t}\Phi(x,t) [/mm] - [mm] v\cdot(\partial_{x}\Psi)(x+vt,t)$ [/mm] gilt.

Gruß mathfunnel

Bezug
                                
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Ableitung der Wellenfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:38 Mi 21.04.2010
Autor: mb588

Ach ich habs...ich hab nur immer noch Probleme mit der Bezeichnung das [mm] \partial_{t}\Psi(x,t)=\bruch{\partial\Psi(x,t)}{\partial t} [/mm] ist.

Bezug
                                
Bezug
Ableitung der Wellenfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:09 Mi 21.04.2010
Autor: mb588

Hallo ich nochmal^^
Geh ich denn richtig der Annahme das:

[mm] \partial_{x}\Psi(x+vt,t)= (\partial_{x}\Psi)(x+vt,t)\partial_{x}(x+vt,t)+(\partial_{t}\Psi)(x+vt,t)\partial_{x}t=\partial_{x}\Psi(x+vt,t)*1+(\partial_{t}\Psi)(x+vt,t)*0=\partial_{x}\Psi(x+vt,t) [/mm]

Ich weiß da kann man nichts weiter draus ableiten, aber nur zum verständnis mal ob die einzelnen schritte so richtig sind.

Danke

Bezug
                                        
Bezug
Ableitung der Wellenfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:57 Do 22.04.2010
Autor: mathfunnel

Hallo mb588,

[mm] \vspace{0.2cm} [/mm]

Alles korrekt!
(Man sollte aber [mm] $\partial_{x}(x+vt)$ [/mm] statt [mm] $\partial_{x}(x+vt,t)$ [/mm] schreiben.)

$ [mm] \partial_{x}\Psi(x+vt,t)= (\partial_{x}\Psi)(x+vt,t)\partial_{x}(x+vt)+(\partial_{t}\Psi)(x+vt,t)\partial_{x}t= \partial_{x}\Psi(x+vt,t)\cdot{}1+(\partial_{t}\Psi)(x+vt,t)\cdot{}0=\partial_{x}\Psi(x+vt,t) [/mm] $

Mit $g: [mm] \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ [/mm] durch $g(x,t) = [mm] (g_1(x,t),g_2(x,t))= [/mm] (x+vt,t)$ und

[mm] $\Phi(x,t) [/mm] := [mm] (\Psi \circ [/mm] g) (x,t) = [mm] \Psi(x+vt,t) [/mm] $ ist das der Ausdruck:

[mm] $\partial_x\Phi(x,t) [/mm] = [mm] \partial_x(\Psi \circ [/mm] g)(x,t)= [mm] \partial_x(\Psi(g_1(x,t), g_2(x,t))) =\\ \partial_x g_1(x,t)\cdot(\partial_{x}\Psi)(g_1(x),g_2(x)) [/mm] + [mm] \partial_x g_2(x,t)\cdot (\partial_{t}\Psi)(g_1(x),g_2(x))= \partial_x g_1(x,t)\cdot(\partial_{x}\Psi)(g_1(x),g_2(x))$ [/mm]



Man sieht also:


[mm] $\partial_x \Phi [/mm] = [mm] \partial_x \Psi$ [/mm] aber [mm] $\partial_t\Phi [/mm] = [mm] \partial_t \Psi+ v\partial_x \Psi \neq \partial_t \Psi$. [/mm]

Gruß mathfunnel


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