Ableitung der n-ten Wurzel < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Aufgabe : Es sei [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm] positiv. Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion [mm] $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ [/mm] mit [mm] f(x)=\wurzel[n]{x}. [/mm] Sie dürfen hierzu nur die Definiton der Ableitung, d.h. keine Ableitungsregeln, Formelsammlungen o.ä verwenden.
Da ich ja keine Ableitungsregeln, oder irgendwelche anderen Voraussetzungen benutzen soll, hab ich den Differenzenquotienten, also [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x+h) - f(x)}{h} [/mm] als Ansatz gewählt: [mm] \bruch{\wurzel[n]{x+h} - \wurzel[n]{x}}{h} [/mm] Leider habe ich keine Ahnung wie ich von dort aus, zu meinem durch Ableitungsregeln bestimmtes Ergebnis komme: [mm] \bruch{1}{n}x^{\bruch{1}{n}-1} [/mm] Für n=2 stellt das ganze mit Hilfe der 3. Binomischen Formel, kein Problem dar, aber allg. für n komme ich einfach nicht weiter. Ich hab zuletzt versucht den Binomischen Lehrsatz zu verwenden, aber auch das ist wie bisher alle anderen Versuche umzuformen gescheitertert, ich hatte dann zum Schluss im Zaehler: [mm] \wurzel[n]{\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (x+h)*(\bruch{x}{x+h})^{\bruch{k}{n}}} [/mm] , ln(x) darf ich ja leider auch nicht benutzen, da ich die Ableitung auch nicht verwenden darf, also ist Logarithmieren wohl nicht als Lösung gedacht, gibt es dann noch eine andere Möglichkeit als den Differenzenquotienten ? Rückwärtsrechnen um das Ergebnis in die Ausganssituation umzuformen hat mich auch nicht weitergebracht... Gibt es noch andere Lösungsansätze ? Oder habe ich mit einem der Vorschläge schon in die richtige Richtung gedacht ? Mir ist es einfach ein Rätsel, wie ich geschickt umformen soll, damit ich nach der Grenzwertbetrachtung auf die Lösung komme.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Di 06.05.2008 | | Autor: | Gauss |
[mm] \limes_{h\rightarrow\0}\bruch{(x+h)^(n^(-1))-x^(n^(-1))}{h} [/mm] im Zähler wird [mm] \summe_{k=0}^{n^(-1)}(\vektor{n^(-1)\\k}*x^{n^(-1)-k}*h^k [/mm] -x^(n^(-1))) also [mm] \summe_{k=1}^{n^(-1)}(\vektor{n^(-1)\\k}*x^{n^(-1)-k}*h^k) [/mm] jetzt kürzen: [mm] \summe_{k=1}^{n^(-1)}(\vektor{n^(-1)\\k}*x^{n^(-1)-k}*h^{k-1}). [/mm] Alle Glieder werden für h=0 0, außer das Erste [mm] :\vektor{n^(-1)\\1}*x^{n^(-1)1}*h^0 [/mm] also [mm] \vektor{n^(-1)\\1}*x^{n^(-1)-1}=n^{-1}*x^{n^(-1)-1} [/mm] Da her die Ableitung.
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