Ableitung einer Determinante < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Di 30.06.2009 | | Autor: | rumpel |
Guten Abend,
und zwar würde ich gerne wissen, ob es eine allgemeine Formel zur Ableitung einer Determinante gibt?
Ich habe hier eine Aufgabe bei der ich die Ableitung von W(x) berechnen soll, wobei W(x) := [mm] \pmat{ f(x) & g(x) & h(x) \\f'(x) & g'(x) & h'(x) \\ f''(x) & g''(x) & h''(x) }. [/mm] Klar kann ich nun die Determinante entweder mit der Regel von Sarrus oder dem Laplace'schen Entwicklungssatz berechnen. Aber gibt es dazu vielleicht noch eine allgemeine Formel? In der Aufgabe muss ich das ganze nämlich mit etwas anderm gleichsetzten und beweisen, dass diese Gleichung auch stimmt.. quasi das ganze geschickt umformen usw. .. komm nur leider nich weiter.
Schonmal vielen Dank im Voraus!
Liebe Grüße
Rumpel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Di 30.06.2009 | | Autor: | SEcki |
> Aber gibt es dazu vielleicht noch eine
> allgemeine Formel?
Die allgemeinste Formel ist folgende: wenn du eine p-fach lineare Form f auf einem rellen Raum [m]\IR^n[/m] hast, dann ist die Linearisierung von f im Punkt [m](x_1,\ldots,x_p)[/m] gegeben durch [m](h_0,\ldots,h_p)\mapsto f(h_0,x_1,\ldots,x_p)+\ldots+f(x_0,\ldots,x_{p-1},h_p)[/m]. Deine Determinante ist eine 3-fach lineare Form auf dem [m]\IR^3[/m]. Mit der Kettenregel ergibt das dann [m]\left\big(det(a(t),b(t),c(t))\right\big)'=det(a'(t),b(t),c(t)) + det(a(t),b'(t),c(t)) + det(a(t),b(t),c'(t))[/m]. Wobei a, b, c Spaltenvektoren sind, zB [m]a(t)=(f(t),f'(t),f''(t))^t[/m].
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:19 Di 30.06.2009 | | Autor: | rumpel |
Hey,
vielen Dank für die schnelle Antwort! Schaut gut aus 
Glaub damit kann ich nun was anfangen..
Lieber Gruß
Rumpel
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