Ableitung einer Fkt. an Stelle < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Mi 21.02.2007 | | Autor: | m.styler |
| Aufgabe | 1)Steigung der Tangente an den Graphen der Fkt. f an der Stelle zu berechnen.
f(x)=|x²-4| ; Stelle -2
2) Angeben, ob die Fkt. f an der Stelle differenzierbar ist. Fals ja, Ableitung von f an der Stelle angeben.
f(x)=x²+x ; Stelle 3 [Stelle a]
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Hallo!
Kann mir jemand erklären, wie ich anfangen soll?
Kann mir das einer berechnen?
danke im voraus!
mfg m.styler
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Mi 21.02.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
nun gut, es geht hier offensichtlich um die Problematik der Ableitbarkeit an einer Betragsfunktion.
Stell dir mal den Graphen [mm] x^{2}-4 [/mm] vor: Es handelt sich um eine um vier Einheiten nach unten verschobene Normalparabel.
Diese hat ihre Nullstellen bei x=-2 und x=2.
Nun ist es so, dass die Betragsstriche aus dem Teil des Graphen unterhalb der x-Achse sozusagen nehmen, und an der x-Achse spiegeln.
Das führt dazu, dass man einen "Knick" im Graphen an den Nullstellen der Funktion hat.
Nun ist es ja so, dass eine Funktion dann ableitbar ist, wenn der Differenzenquotient für die linksseitge Anhäherung an einer Stelle und für die rechtsseitige Näherung an der selben Stelle ein und den selben Wert ergibt.
Das ist aber bei solchen Betragsfunktionen an den Stellen, wo ein Graph eigentlich in den negativen Bereich übergehen würde, ein "Knick".
D.h. eine linksseitige Annäherung mit Hilfe des Differenzenquotienten gibt eine andere Steigung als eine rechtsseitige Annäherung.
D.h. die Funktion ist an der Stelle x=-2 eigentlich nicht ableitbar, da sie sozusagen an der Stelle x=-2 zwei Steigungen hat.
Wenn du einfach mal [mm] f(x)=x^{2}-4 [/mm] nimmst, dies Ableitest und dann für x=-2 einsetzt, bekommst du nur eine Steigung heraus, und du nimmst an, dass diese Funktion an der Stelle x=-2 ableitbar sei. Somit würdest du durch eine Solche Berechnung einen mathematischen Fehler begehen, da dort diese Funktion nicht Ableitbar ist.
Nun gut...und bei Aufgabe b) musst du dann gucken, ob die Funktion an der Stelle x=3 stetigt ist und differenzierbar ist.
Anschließend , wenn du über die allgemiene Stelle x=a nachdenkst, musst du gucken, ob im Graph von [mm] x^{2}+x [/mm] irgendwo ein Knick vorhanden sein könnte, oder nicht (um das ganze mal so salopp zu sagen).
Ich weiß ja nicht, wie genau ihr das gemacht habt mit der Differenzierbarkeit und Stetigkeit etc.
Aber ich hoffe, ich konnte dir ein wenig Helfen.
Slaín,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Mi 21.02.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo!
dank dir! nun, das war mir schon vorher klar...
ich wollte wissen, wie man es berechnet, und ob mir einer diese Rechnung durchführen könnte, damit ich das an anderen Aufgaben verwenden kann.
mfg m.styler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Mi 21.02.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo!
Mein Ergebnis ist:
1)
f(x)=|x²-4|
f1(x)=x²-4 für [mm] x²-4\ge0\gdwx\ge2 [/mm] und [mm] x\le-2
[/mm]
f2(x)=-(x²-4)für [mm] x²-4<0\gdw2>x>-2
[/mm]
Untersuchen:Stelle x=2 (>2)
[mm] \bruch{f_{1(x)}-f_{2}(a)}{x-a}=\bruch{x²-4-0}{x-2}=\bruch{(x+2)*(x-2)}{x-2}=x+2
[/mm]
Grenzwert bilden:
[mm] \limes_{x\toa} \bruch{f_{1(x)}-f_{2}(a)}{x-a} \limes_{x\to2} [/mm] (x+2)=4
Untersuchen:Stelle x=-2 (<2)
"Noch einmal mit -2"
kommt limes=-4 heraus.
a=2 nicht differenzierbar! <-- Kann mir das jemand erklären??
Könnte mir einer sagen ob das richtig ist??
danke im voraus!
mfg m.styler
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Hallo m.styler,
ich denke, du hast die Definition deiner Funktion etwas durcheinandergewurschtelt:
[mm] f(x)=|x^2-4|=\begin{cases} x^2-4, & \mbox{für } x^2-4\ge 0\Leftrightarrow x\ge |2|\Leftrightarrow x\ge 2\vee x\le -2 \\ -x^2+4, & \mbox{für } x^2-4<0\Leftrightarrow x<|2|\Leftrightarrow -2
Also ist f in der Nähe (in einer kleinenUmgebung) von x=-2 so definiert:
links von -2 als [mm] x^2-4 [/mm] und rechts von -2 als [mm] -x^2+4
[/mm]
Nun untersuche den rechtsseitigen und den linksseitigen Grenzwert mit der Definition:
rechtsseitig [mm] \limes_{x\downarrow -2}\bruch{f(x)-f(-2)}{x-(-2)}=\limes_{x\downarrow -2}\bruch{|x^2-4|-|(-2)^2-4|}{x-(-2)}.... [/mm] und
linksseitig [mm] \limes_{x\uparrow -2}\bruch{f(x)-f(-2)}{x-(-2)}=\limes_{x\uparrow -2}\bruch{|x^2-4|-|(-2)^2-4|}{x-(-2)}....
[/mm]
Beachte, wie f jeweils rechts und links von -2 definiert ist
Hoffe, das hilft ein wenig weiter 
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 So 25.02.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo!
Kann man diese aus Beträgen bestehende Form nicht anders umgestalten, denn das wäre etwas zu weit, ist net das was wir so in der 11 behandeln.
mfg m.styler
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Hallo,
es geht ja um die Frage, ob der Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow -2}\bruch{f(x)-f(-2)}{x-(-2)}
[/mm]
existiert.
Nun ist f(x) rechts und links von -2 verschieden,
nämlich [mm] f(x)=\begin{cases} x^2-4, & \mbox{} \mbox{ links} \\ 4-x^2, & \mbox{ } \mbox{ rechts} \end{cases}.
[/mm]
Der obige Grenzwert von rechts ist
[mm] \limes_{x\rightarrow -2}\bruch{f(x)-f(-2)}{x-(-2)}=\limes_{x\rightarrow -2}\bruch{4-x^2-0}{x-(-2)}=\limes_{x\rightarrow -2}(2-x)=4,
[/mm]
von links
[mm] \limes_{x\rightarrow -2}\bruch{x^2-4-0}{x-(-2)}=\limes_{x\rightarrow -2}\bruch{x^2-4}{x+2}=\limes_{x\rightarrow -2}(x-2)=-4.
[/mm]
Rechter und linker GW sind verschieden, daher existiert an der Stelle -2 kein GW, d.h. die Folge ist hier nicht differenzierbar.
Wenn Du die Funktion zeichnest, merkst Du das intuitiv sofort, sie ist bei -2 "spitz", und Du kannst kein Lineal (Tangente) "anschmiegen".
Gruß v. Angela
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