Ableitung einer ln Funktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Mo 12.03.2007 | | Autor: | oSwooD |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Tiefpunkt von f(x). Für welchen Weer von t liegt der Tiefpunkt auf der Geraden mit der Gleichung y=1; für welchen Wert von t liegt er auf der x-Achse? |
Hallo zusammen, so nun folgt die 2. Aufgabe von der ich nich wirklich etwas verstehe...es fängt an mit den Ableitungen der funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{2}(tx-ln [/mm] x)
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist ja faktor und kann in der betrachtung weggelassen werden, danach summenregel , theoretisch [mm] t-\bruch{1}{x}
[/mm]
aber danach und dann die teilaufgabe wie oben geschrieben...nun ja..
MfG :)
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Teufel |
Hoi.
Ja, [mm] f_t'(x)=\bruch{1}{2}(t-\bruch{1}{x})
[/mm]
Das setzt du 0 um Extremstelle rauszufinden und bildest noch die 2. Ableitung um zu schauen, ob auch wirklich immer ein Tiefpunkt vorliegt.
Wenn du den x-Wert des Extrempunktes hast, setzt du ihn wieder in [mm] f_t'(x) [/mm] ein um den y-Wert zu ermitteln.
Und dieser Wert soll einmal 1 sein und einmal 0. Kannst du beide male nach t auflösen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Mo 19.03.2007 | | Autor: | oSwooD |
| Aufgabe | b) Untersuche ob es Kurven Kt gibt mit einem Wendepunkt
c) Für welche Werte von t hat Kt mit der x-Achse keinen Punkt gemeinsam? |
Also Ableitungen hab ich folgende:
bin aber nicht sehr sicher =/
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2}(t-\bruch{1}{x})
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{1}{2}(t+\bruch{1}{x²})
[/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{1}{2}(t-\bruch{1}{x³})
[/mm]
richtig?
nach Aufabe a) Für welchen Wert von t liegt der Tiefpunkt auf der Geraden mit der Gleichung y=1 => [mm] t=\wurzel{e}
[/mm]
und ; für welchen Wert von t liegt er auf der x-Achse? => n.e.
oder?
b) [mm] X_{w}=(\wurzel{-\bruch{1}{t}};\bruch{1}{2}) [/mm]
c) [mm] t\in\IR [/mm] aber wie ich das beweisem weiß ich nicht..
Eine Verbesserung oder Verifizierung wäre sehr nett :)
Mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Mo 19.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
> b) Untersuche ob es Kurven Kt gibt mit einem Wendepunkt
> c) Für welche Werte von t hat Kt mit der x-Achse keinen
> Punkt gemeinsam?
> Also Ableitungen hab ich folgende:
> bin aber nicht sehr sicher =/
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{2}(t-\bruch{1}{x})[/mm]
stimmt.
> [mm]f''(x)=\bruch{1}{2}(t+\bruch{1}{x²})[/mm]
falsch, da (t)' = 0 t - ist keine Variable, sondern eine Konstante.
> [mm]f'''(x)=\bruch{1}{2}(t-\bruch{1}{x³})[/mm]
> richtig?
falsch. [mm] \bruch{1}{x²} [/mm] = [mm] x^{-2}
[/mm]
[mm] (x^{-2})' [/mm] = [mm] -2x^{-3} [/mm] = [mm] -\bruch{2}{x³}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Mo 19.03.2007 | | Autor: | oSwooD |
t ist ein Parameter und muss doch nicht betrachtet werden in der Ableitungsgeschichte oder?
Und sorry..3. Ableitung hab ich falsch abgetippt..also den letzen term hatte ich ebenfalls so, aber der rest scheint ja falsch zu sein?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 Mo 19.03.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich denke, hier steht die Frage der Ableitung im Vordergrund. Deswegen habe ich mich jetzt mal eingemischt :)
$ [mm] f_{t}'(x)=\bruch{1}{2}(t-\bruch{1}{x}) [/mm] $
Der erste Schritt überhaupt: Klammer auflösen.
$ [mm] f_{t}'(x)=\bruch{1}{2}*t-\bruch{1}{2x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*t-\bruch{1}{2}*x^{-1} [/mm] $
[mm] \bruch{1}{2}*t [/mm] ist ja eine Konstante. Und wie verfährt man bei Konstanten, die man ableitet? Sie fallen weg.
$ [mm] f_{t}''(x)= \bruch{1}{2}*x^{-2}$
[/mm]
[mm] f_{t}'''(x)=-x^{-3}
[/mm]
Das sind die Ableitungen 1 bis 3.
MfG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Mo 19.03.2007 | | Autor: | oSwooD |
| Aufgabe | | Von [mm] A(0|\bruch{1}{2}) [/mm] aus wird am jede Kurve Kt die Tangente gelegt. Berechnen Sie die Koordinaten der Berührungspunkte. Geben Sie den geometrischen Ort der Berührungspunkte an. |
So thx erstmal..für die Ableitungen..mein Fehler :-[
ALso nun dieses Teilaufgabe..erstmal brauch ich eine tangentengleichung die durch A geht und jede Kt berührt..also müsste sie ja ein t enthalten..aber wie stelle ich diese zusammen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 Mo 19.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
> Von [mm]A(0|\bruch{1}{2})[/mm] aus wird am jede Kurve Kt die
> Tangente gelegt. Berechnen Sie die Koordinaten der
> Berührungspunkte. Geben Sie den geometrischen Ort der
> Berührungspunkte an.
> So thx erstmal..für die Ableitungen..mein Fehler :-[
> ALso nun dieses Teilaufgabe..erstmal brauch ich eine
> tangentengleichung die durch A geht und jede Kt
> berührt..also müsste sie ja ein t enthalten..aber wie
> stelle ich diese zusammen?
Die allgemeine Gleichung einer Tangente ist y=mx+b
Da die Tangente durch den Punkt A läuft b= 1/2
Die Steigung m = f'(x) = 1/2(t-1/x)
Zusammengefasst: y= [mm] \bruch{1}{2}(t-\bruch{1}{x})x+\bruch{1}{2}
[/mm]
Nach der Umformen: [mm] y=\bruch{1}{2}tx
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Di 20.03.2007 | | Autor: | oSwooD |
Thx )
Somit komme ich auf [mm] B(1|\bruch{t}{2})
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Mo 19.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
Hi,
nun zu deinen Teilaufgaben
> nach Aufabe a) Für welchen Wert von t liegt der Tiefpunkt
> auf der Geraden mit der Gleichung y=1 =>
> [mm]t=\wurzel{e}[/mm]
> und ; für welchen Wert von t liegt er auf der x-Achse? =>
> n.e.
> oder?
nein leider falsch.
Nach meiner Berechnung Tiefpunkt liegt (1/t | 1/2(1+lnt))
Tiefpunkt liegt auf der Gerade y=1 bei 1/2(1+lnt) = 1
bzw. auf x-Asche bei 1/2(1+lnt)=0
Kommst du weiter allein?
> b) [mm]X_{w}=(\wurzel{-\bruch{1}{t}};\bruch{1}{2})[/mm]
Wenn du richtig die 2.Ableitung hast, dann siehst du, dass
keine der Kurven einen Wendepunkt hat, da f''(x) [mm] \not=0
[/mm]
> c) [mm]t\in\IR[/mm] aber wie ich das beweisem weiß ich nicht..
1/2(tx-lnx) = 0
tx=lnx
Nullstellen von f(x) sind die Schnittpunkte von y=lnx und y=tx
Definitionsbereich von lnx x>0, so hat lnx keine Schnittpunkte mit der Geraden x=a, a [mm] \le [/mm] 0.
also tx [mm] \le [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] t [mm] \le [/mm] 0
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Di 20.03.2007 | | Autor: | oSwooD |
Mit dem Tiefpunkt bin ich einverstanden;
Aber bei y=1 muss ich auf t=e kommen, anhand der Skizze, aber rechnerisch immer auf [mm] t=e^1/2
[/mm]
bei y=0 komme ich auf t=e obwohl es bei y=1 sein müsste =/
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Di 20.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
> Mit dem Tiefpunkt bin ich einverstanden;
> Aber bei y=1 muss ich auf t=e kommen, anhand der Skizze,
> aber rechnerisch immer auf [mm]t=e^1/2[/mm]
> bei y=0 komme ich auf t=e obwohl es bei y=1 sein müsste =/
Prüfe mal wo du bei der Berechnung falsch liegst.
[mm] \bruch{1}{2}(1 [/mm] + lnt) = 1
1+lnt = 2
lnt = 1
t = e
für [mm] \bruch{1}{2}(1 [/mm] + lnt) = 0
1 + lnt = 0
lnt = -1
t= [mm] \bruch{1}{e}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 Di 20.03.2007 | | Autor: | oSwooD |
Oh Gott....Sorry..war echt ein fehler in meiner rechnung..eigtentlich so einfach zu rechnen..naja sagen wir niemand , dass ich LK bin :-[
Aber nochmals danke an alle :)
MfG
|
|
|
|
