Ableitung f(x) < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ableitung von f(x)=2(1-x²)/(x²+1)² |
Hallo, ich hab folgendes Problem. Ich habe die Aufgabe schon 4x nachgerechnet aber ich komme nie auf die gesuchte Ableitung der Funktion. Ich hab es mit Quotienten-/Kettenregel versucht.
hier meine Schritte, bitte um Verbesserung.
[mm] f'(x)=[-4x*(x^4+2x²+1)]-[(-2x²+1)*(4x³+4x)]/(x²+1)^4
[/mm]
[mm] =[(-4x^5-8x^3-4x)-(-8x^5-8x^3+4x^3+4x)]/(x²+1]^4
[/mm]
[mm] =(4x^5-4x^3)/(x²+1)^4
[/mm]
Es soll aber [mm] f'(x)=4x(x²-3)/(x²+1)^3 [/mm] rauskommen
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Hallo LordBEcks,
deine abzuleitende Funktion lautet
[mm] f(x)=\bruch{2(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^{2}}
[/mm]
Das Distributivgesetz liefert uns
[mm] \bruch{2-2x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}
[/mm]
Wir bilden die Ableitung [mm] \bruch{df}{dx} [/mm] gemäß der Quotienten- sowie der Kettenregel und erhalten
[mm] \bruch{-4x(x^{2}+1)^{2}-(2-2x^{2})*2(x^{2}+1)*2x}{(x^{2}+1)^{4}}
[/mm]
Im Zähler können wir nun jeweils den Faktor [mm] (x^{2}+1) [/mm] ausklammern und mit einer Potenz aus dem Nenner kürzen. Es ergibt sich also
[mm] \bruch{-4x*(x^{2}+1)-(2-2x^{2})*4x}{(x^{2}+1)^{3}}
[/mm]
Jetzt können wir noch zur Vereinfachung im Zähler jeweils den Faktor 4x ausklammern. Dies liefert uns nach einer wiederholten Anwendung des Distributivgesetzes
[mm] \bruch{4x(-x^{2}-1-2+2x^{2})}{(x^{2}+1)^{3}}
[/mm]
Zusammenfassend kommen also wir auf den gewünschten Ausdruck
[mm] \bruch{4x(x^{2}-3)}{(x^{2}+1)^{3}}
[/mm]
Gruß, Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:11 Sa 21.02.2009 | | Autor: | LordBEcks |
Danke für die Hilfe, werds nochmal nachrechnen. Hab glaub ich heute schon zuviel gerechnet;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:14 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Achte bei deiner Rechnung vor allem auf die Klammersetzung. Die ist bei deinem Lösungsansatz nicht korrekt. Zudem empfiehlt es sich bei dieser Aufgabe, das erste Binom nicht anzuwenden, damit du eben [mm] (x^{2}+1) [/mm] mit einer Potenz im Nenner herauskürzen kannst.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:21 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
> Ableitung von f(x)=2(1-x²)/(x²+1)²
> Hallo, ich hab folgendes Problem. Ich habe die Aufgabe
> schon 4x nachgerechnet aber ich komme nie auf die gesuchte
> Ableitung der Funktion. Ich hab es mit
> Quotienten-/Kettenregel versucht.
>
> hier meine Schritte, bitte um Verbesserung.
>
[mm]f'(x)=[-4x*(x^4+2x²+1)]-[(-2x²+1)*(4x³+4x)]/(x²+1)^4[/mm]
Hier hast du dich beim rechten Summanden im Zähler wohl auch mit der Quotientenregel etwas verhaspelt.
> [mm]=[(-4x^5-8x^3-4x)-(-8x^5-8x^3+4x^3+4x)]/(x²+1]^4[/mm]
>
> [mm]=(4x^5-4x^3)/(x²+1)^4[/mm]
>
> Es soll aber [mm]f'(x)=4x(x²-3)/(x²+1)^3[/mm] rauskommen
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