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Forum "Schul-Analysis" - Ableitung in einem Punkt
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Ableitung in einem Punkt: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:08 Do 13.01.2005
Autor: humms

Hallo,
ich habe hier eine Aufgabe bei der ich die Ableitung von f(x) im Punkt 0 suchen soll.

Entweder ich habe schon so viele Ableitungen gemacht, dass ich den Sinn für das einfache verloren habe, oder ich gehe die Aufgabe falsch an.

f'(0) = [mm]\lim_{x\rightarrow{x_0}}[/mm][mm] \left( \bruch{f(h) - f(0)}{h} \right)[/mm] =

Wenn ich nun für f(h) und h gleich 0 setze dann steht ja f(0) - f(0) durch 0 und das ist doch ein unbestimmter Ausdruck 0/0!?

gruß,
humms

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
        
Bezug
Ableitung in einem Punkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:27 Do 13.01.2005
Autor: Loddar

Hallo humms,

[willkommenmr] !!!


> Entweder ich habe schon so viele Ableitungen gemacht, dass
> ich den Sinn für das einfache verloren habe, oder ich gehe
> die Aufgabe falsch an.
>  
> f'(0) = [mm]\lim_{x\rightarrow{x_0}}[/mm][mm] \left( \bruch{f(h) - f(0)}{h} \right)[/mm]

Du meinst sicher:
$f'(0) = [mm] \lim_{\red{h\rightarrow0}}\left( \bruch{f(h) - f(0)}{h} \right)$ [/mm]


> Wenn ich nun für f(h) und h gleich 0 setze dann steht ja
> f(0) - f(0) durch 0 und das ist doch ein unbestimmter
> Ausdruck 0/0!?

Wenn Du für diese Werte auch wirklich 0 einsetzt, dann erhältst Du wirklich solch einen unbestimmten Ausdruck.
Aber das machen wir ja nicht: wir nähern uns lediglich unendlich nah' an die 0 an und machen eine entsprechende Grenzwertbetrachtung.

Dann erhalten wir auch unsere bekannten Ableitungsfunktionen mit ihren bekannten MBAbleitungsregeln ...

Ist da nun etwas klarer?


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Ableitung in einem Punkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:50 Do 13.01.2005
Autor: humms

Ups, ich habe ausversehen den falschen Knopf gedrückt auf der Suche nach dem Antwortknopf! :) sorry (bin neu hier .....)

Auf jeden Fall, ich verstehe glaube ich was Du mienst, trotzdem weiß ich nicht weiter. Ich habe Probleme wie ich anfangen soll. Mich stören die Funktionsausdrücke f(h) usw. sonst steht ja dort immer eine Zahl ... und das verwirrt mich!

Ein Ansatz würe mir evtl. weiterhelfen ...

Bezug
                        
Bezug
Ableitung in einem Punkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:03 Do 13.01.2005
Autor: Loddar


> Ups, ich habe ausversehen den falschen Knopf gedrückt auf
> der Suche nach dem Antwortknopf! :) sorry (bin neu hier
> .....)

Macht ja nix ... [grins]


> Auf jeden Fall, ich verstehe glaube ich was Du mienst,
> trotzdem weiß ich nicht weiter. Ich habe Probleme wie ich
> anfangen soll. Mich stören die Funktionsausdrücke f(h) usw.
> sonst steht ja dort immer eine Zahl ... und das verwirrt
> mich!

Da müsstest Du dann schon eine konkrete Funktion in's Spiel bringen.
Denn für die allgemeine Form war's das.
Also mit einer bestimmten Funktion kann man da auch konkret "weiter machen" ...


Loddar

Bezug
                                
Bezug
Ableitung in einem Punkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:30 Do 13.01.2005
Autor: humms


>  Denn für die allgemeine Form war's das.
>  Also mit einer bestimmten Funktion kann man da auch
> konkret "weiter machen" ...


Hmmm... und was würde ich dann also Antwort auf die Frage (Aufgabe) geben?

Berechnen Sie die Ableitung von f(x) im Punkt 0:

[mm]f'(0) = \lim_{{h\rightarrow0}}\left( \bruch{f(h) - f(0)}{h} \right)[/mm] =


Bezug
                                        
Bezug
Ableitung in einem Punkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:03 Do 13.01.2005
Autor: Loddar

Ohne konkrete Funktion??

Hhmm ... [kopfkratz3]



Bezug
                                                
Bezug
Ableitung in einem Punkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:29 Do 13.01.2005
Autor: humms

Also die komplette Aufgabe lautet:

1. Gegeben sei die Funktion

f(x) = ln(1+2x²)/x


1.a Berechnen Sie den Grenzwert

[mm]\lim_{{h\rightarrow0}}[/mm] f(x) =


1.b Berechnen Sie die Ableitung von f(x) im Punkt 0:

[mm]f'(0) = \lim_{{h\rightarrow0}}\left( \bruch{f(h) - f(0)}{h} \right)[/mm]


Hmmm... ich habe ja praktisch in 1.a) den Grenzwert und die Ableitung berechnet, dnn brauche ich doch nur noch in 1.b) das ergebnis der Ableitung hinschreiben?!?!

Ich finde die fragestellung bzw. aufteilung irgendwie doof! :-)

PS: Wo ist denn die option, dass ich ganzu normal auf ein Posting antworten kann? Bin ich blind? [verwirrt]
Bezug
                                                        
Bezug
Ableitung in einem Punkt: Lösungshinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:54 Do 13.01.2005
Autor: informix

Hallo humms,
[willkommenmr]
> Also die komplette Aufgabe lautet:
>  
> 1. Gegeben sei die Funktion
>
> f(x) = ln(1+2x²)/x

Was meinst du: $f(x) = [mm] \ln {\bruch{1+2x^2}{x}}$ [/mm] oder $f(x) = [mm] \bruch{\ln(1+2x^2)}{x}$ [/mm] ?? [verwirrt]
Benutze doch bitte unseren Formeleditor, damit man die Terme eindeutig lesen kann.
>
> 1.a Berechnen Sie den Grenzwert
>  
> [mm]\lim_{{h\rightarrow0}}[/mm] f(x) =

Hier berechnest du den Grenzwert der Funktionswerte für [mm] $\red [/mm] x [mm] \rightarrow [/mm] 0$, denke ich, denn h kommt im Term überhaupt nicht vor. ;-)
Durch Einsetzen von x=0 in den Term kommst du ja nicht weiter, weil der Term für x=0 nicht definiert ist; aber man kann ja prüfen, ob die Funktionswerte gegen 0 oder gegen [mm] \infty [/mm] streben?
>
> 1.b Berechnen Sie die Ableitung von f(x) im Punkt 0:
>  
> [mm]f'(0) = \lim_{{h\rightarrow0}}\left( \bruch{f(h) - f(0)}{h} \right)[/mm]

Und hier berechnest du tatsächlich die Steigung an der Stelle 0, und die hat durchaus einen anderen Wert!
>
> Hmmm... ich habe ja praktisch in 1.a) den Grenzwert und die
> Ableitung berechnet, dnn brauche ich doch nur noch in 1.b)
> das ergebnis der Ableitung hinschreiben?!?!

Es sind beides "irgendwie" Grenzwerte, die aber unterschiedliche Ergebnisse haben!

Bezug
                                                                
Bezug
Ableitung in einem Punkt: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:21 Do 13.01.2005
Autor: humms

Danke für die vielen Hilfen.

1. Gegeben: [mm] f(x) = \bruch{\ln(1+2x^2)}{x} [/mm]  

1.a Berechnen Sie den Grenzwert:
[mm] \lim_{{h\rightarrow0}} f(x)[/mm]=[mm]\bruch{\-ln(1+2x^2)}{x^2} + \bruch{4}{(1+2x^2)} = 4[/mm]

Stimmt der denn überhaupt?


Bezug
                                                                        
Bezug
Ableitung in einem Punkt: ??? Rückfragen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:54 Do 13.01.2005
Autor: Loddar

Hallo humms!

Eins mal vorneweg: wenn du eine Frage hast, dann markiere sie bitte als solche (rotes Rechteck). Dann fällt dieser Beitrag auch hier auf und es wird Dir (schneller) geholfen ...

  
> 1. Gegeben: [mm]f(x) = \bruch{\ln(1+2x^2)}{x}[/mm]  
>
> 1.a Berechnen Sie den Grenzwert:
>  [mm]\lim_{{h\rightarrow0}} f(x)[/mm]=[mm]\bruch{\-ln(1+2x^2)}{x^2} + \bruch{4}{(1+2x^2)} = 4[/mm]

Als Grenzwertvariable soll doch bestimmt x gegen 0 laufen, oder (und nicht h, das kommt nämlich gar nicht mehr vor).


Wenn Du berechnen sollst [mm] $\limes_{x\rightarrow0}f(x)$, [/mm] mußt Du auch die richtige Funktionsvorschrift einsetzen. Oder wo kommt das [mm] $x^{\red2}$ [/mm] plötzlich her?

Wo kommt denn der 2. Summand [mm] "$\bruch{4}{(1+2x^2)}$" [/mm] her?
Oder soll dazwischen ein "=" stehen?
In diesem Fall: wie kommst Du auf diesen Ausdruck?

Hast Du hier die MBLHospitalscheRegel angewandt?
Dann ist Dir leider bei der inneren Ableitung des Zählers ein Fehler unterlaufen ...

Ich habe jedenfalls als Endergebnis: [mm] $\limes_{x\rightarrow0}f(x) [/mm] = 0$


Loddar

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