Ableitung ins Integral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Mi 29.06.2016 | | Autor: | sanadros |
| Aufgabe | Wir definieren $ g $ durch
$ g: [mm] \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, [/mm] g(y):= [mm] \int_{y^{2}}^{e^{y^{2}}}\ln({1+x^{2}+y^{2}})dx $
[/mm]
bestimmen sie $ g'(y) $ |
OK man kann ja die Ableitung reinziehen und dann die Ränder auswerten um dann bekommt man
$ [mm] \int_{y^{2}}^{e^{y^{2}}} \frac{2y}{1+x^2+y^2} [/mm] + [mm] ln({1+e^{y^{4}}+y^{2}})*2*y*e^{y^{2}}-\ln({1+y^{4}+y^{2}})*2*y [/mm] $
Aber der Integral des Bruchs würde ja ein arcsin ergeben jedoch ist das Ziel wieder ein ln zu bekommen aber ich weiss jetzt nicht wie ich den bekomme?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:17 Do 30.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Wir definieren [mm]g[/mm] durch
>
> [mm]g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(y):= \int_{y^{2}}^{e^{y^{2}}}\ln({1+x^{2}+y^{2}})dx [/mm]
>
> bestimmen sie [mm]g'(y)[/mm]
> OK man kann ja die Ableitung reinziehen und dann die
> Ränder auswerten um dann bekommt man
>
> [mm] \int_{y^{2}}^{e^{y^{2}}} \frac{2y}{1+x^2+y^2} + ln({1+e^{y^{4}}+y^{2}})*2*y*e^{y^{2}}-\ln({1+y^{4}+y^{2}})*2*y[/mm]
>
> Aber der Integral des Bruchs würde ja ein arcsin ergeben
Eher arctan.
> jedoch ist das Ziel wieder ein ln zu bekommen aber ich
> weiss jetzt nicht wie ich den bekomme?
Ist y fest, so ist eine Stammfunktion von [mm] \frac{2y}{1+x^2+y^2} [/mm] (bezüglich x) gegeben durch
[mm] \bruch{2y}{\wurzel{1+y^2}}*\arctan(\bruch{x}{\wurzel{1+y^2}})
[/mm]
Wenn Du auf Biegen und Brechen den [mm] \ln [/mm] drin haben willst, so schau mal hier nach unter "atan2".
FRED
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