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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Do 27.02.2014 | | Autor: | MichaFCC |
| Aufgabe | Sei N die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, [mm]\alpha>0[/mm] und [mm] p \in [ \bruch{\alpha}{1+\alpha} , 1 ] [/mm] .
Zeigen Sie, dass die folgende Funktion streng monoton steigend in p ist
[mm] N~(~N^{-1}(1-(1-p)*(1+\alpha)) [/mm] - [mm] N^{-1}(1-p)~) [/mm] |
Hi,
da die Verteilungsfunktion der Normalverteilung streng monoton steigend ist, reicht es zu zeigen, dass das Argument der Verteilungsfunktion streng monoton steigend in p ist. Streng monoton steigend in p heißt, dass die Ableitung nach p echt größer als Null ist.
Ableitung des Argumentes nach p, wobei [mm] N^{-1}^{'}[/mm] die Ableitung der Inversen darstellt:
[mm] N^{-1}^{'}(1-(1-p)*(1+\alpha))~*~ (1+\alpha) ~-~ N^{-1}^{'}(1-p) [/mm]
Wie zeige ich, dass dieser Ausdruck echt größer als Null ist? Oder gibt es einen alternativen Weg?
Vielen Dank im Voraus für Anregungen!
Liebe Grüße
michafcc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Do 27.02.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo MichaFCC!
> Sei N die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung,
> [mm]\alpha>0[/mm] und [mm]p \in [ \bruch{\alpha}{1+\alpha} , 1 ][/mm] .
>
> Zeigen Sie, dass die folgende Funktion streng monoton
> steigend in p ist
>
> [mm]N~(~N^{-1}(1-(1-p)*(1+\alpha))[/mm] - [mm]N^{-1}(1-p)~)[/mm]
Es soll sicherlich $p [mm] \in [/mm] ] [mm] \bruch{\alpha}{1+\alpha} [/mm] , 1 [$ heißen, denn sonst ist die Funktion gar nicht wohldefiniert.
> da die Verteilungsfunktion der Normalverteilung streng
> monoton steigend ist, reicht es zu zeigen, dass das
> Argument der Verteilungsfunktion streng monoton steigend in
> p ist.
Genau.
> Streng monoton steigend in p heißt, dass die
> Ableitung nach p echt größer als Null ist.
Wenn die Funktion differenzierbar ist.
> Ableitung des Argumentes nach p, wobei [mm]N^{-1}^{'}[/mm] die
> Ableitung der Inversen darstellt:
Nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion ist [mm] $N^{-1}$ [/mm] tatsächlich differenzierbar, da $N$ differenzierbar mit $N'(x)>0$ für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] ist.
Außerdem gilt nach selbigem Satz: [mm] $N^{-1}'(y)>0$ [/mm] für alle [mm] $y\in]0,1[$. [/mm] (*)
> [mm]N^{-1}^{'}(1-(1-p)*(1+\alpha))~*~ (1+\alpha) ~-~ N^{-1}^{'}(1-p)[/mm]
Vergiss bei der Anwendung der Kettenregel auf den hinteren Teil nicht die innere Ableitung.
> Wie zeige ich, dass dieser Ausdruck echt größer als Null
> ist?
Mit der korrigierten Ableitung folgt das direkt aus (*).
> Oder gibt es einen alternativen Weg?
Ja. Arbeite direkt mit der Definition von strenger Monotonie.
Die Funktion aus der Aufgabenstellung ist streng monoton steigend genau dann, wenn für alle [mm] $p_1,p_2 \in ]\bruch{\alpha}{1+\alpha} [/mm] , 1 [$ mit [mm] $p_1
(**) [mm] $N~(~N^{-1}(1-(1-p_1)*(1+\alpha))-N^{-1}(1-p_1)~)
Seien also [mm] $p_1,p_2\in ]\bruch{\alpha}{1+\alpha} [/mm] , 1 [$ mit [mm] $p_1
Um (**) zu zeigen, hangele dich schrittweise durch:
Wegen [mm] $p_1
[mm] $1-p_1>1-p_2$.
[/mm]
Weil mit $N$ auch [mm] $N^{-1}$ [/mm] streng monoton steigend ist, folgt
[mm] $N^{-1}(1-p_1)>N^{-1}(1-p_2)$.
[/mm]
Leite nun auch eine Ungleichung zwischen
[mm] $N^{-1}(1-(1-p_1)*(1+\alpha))$
[/mm]
und
[mm] $N^{-1}(1-(1-p_2)*(1+\alpha))$
[/mm]
her.
Kommst du damit alleine weiter?
Viele Grüße
Tobias
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| Aufgabe | Sei N die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung,
$ [mm] \alpha>0 [/mm] $ und $ p [mm] \in [/mm] ( [mm] \bruch{\alpha}{1+\alpha} [/mm] , 1 ) $ .
Zeigen Sie, dass die folgende Funktion streng monoton
steigend in p ist
$ [mm] N~(~N^{-1}(1-(1-p)\cdot{}(1+\alpha)) [/mm] $ + $ [mm] N^{-1}(1-p)~) [/mm] $ |
Hi Tobias,
Danke für die schnelle Antwort. Leider war die Ableitung richtig, aber die Aufgabenstellung fehlerhaft. die Funktion lautet:
[mm] N~(~N^{-1}(1-(1-p)\cdot{}(1+\alpha)) $ + $ N^{-1}(1-p)~) [/mm]
und die Ableitung des Argumentes somit tatsächlich:
[mm] N^{-1}^{'}(1-(1-p)\cdot{}(1+\alpha))~\cdot{}~ (1+\alpha) ~-~ N^{-1}^{'}(1-p) [/mm]
Sorry für den fauxpas -.-
Wie kann ich hier zeigen, dass die Ableitung strikt positiv ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 So 30.03.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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