Ableitung (log(n))^k < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Sharadix |
Hallo,
ich benötige die Ableitung von [mm] (log(n))^k [/mm] .
Die Ableitung von log(n) alleine wäre ja 1/basis*1/n
Aber wie is das mit dem ^k
Kann ich das k irgendwie in deen logarithmus reinziehen.
Oder muss ich hier irgendwie die Kettenregel anwenden.
Also auf jeden Fall muss der Logarithmus weg ^^,
Denn ich will folgendes Beweisen
[mm] lim|(log(n))^k/n^c|=0 [/mm] wobei c >0 sein muss.
Ich würde das mit dem Satz von l'hospital machen, im nenner würde dann ja stehen [mm] c*n^c-1, [/mm] aus dem Grund müsste ja dann auch c> 0 sein. Naja..
Das Problem ist weiß nicht was oben im Nenner raus kommt. Hab leider das Differenzieren verlernt. Schön wärs, wie gesagt wenn man den log rausbekommt... dann ständen eh nurnoch konstanten und die n's da und das ganze wäre wohl nicht mehr so das Problem.
Ich wäre über jede Hilfe dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sharadix!
Wenn Du hier nach der Variablen $n_$ ableiten möchtest, wirst Du den [mm] $\ln(...)$ [/mm] so schnell nicht los (ich unterstelle hier mal den natürlichen Logarithmus zur Basis $e_$ ).
Wie bereits von Dir befürchtet, musst Du hier die  Kettenregel bemühen.
Dann wird daraus nämlich: [mm] $k*\left[\ln(n)\right]^{k-1}*\left[\ln(n)\right]' [/mm] \ = \ [mm] k*\left[\ln(n)\right]^{k-1}*\bruch{1}{n}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:29 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Sharadix |
Hm,
Also die Ableitung scheint dann so zu passen.
Aber damit ich das ln(n) komplett abgeleitet bekomme müsste ich ja quasi k*ableiten.
das wäre dann jaimmer ein weiterer Faktor im enfeffekt irgendwas mit k!. Also ich schätze mal ein ewig langer Term ^^... und im Nenner würd das ja auch nur so lange gut gehen, so lange k>c wäre.
Urghs...
Also glaube der Beweis geht dann eventuell doch anders :(.
Wie gesagt zu beweisen ist eigentlich : [mm] lim|(log(n))^k/n^c| [/mm] =0
Das mim l'hospital war an sich nur so eine Idee, aber irgendwie so richtig weiter kommt man nun mit den ableitungen auch nicht. Hatte wie gesagt gehofft, dass sich der logarithmus recht schnell verflüchtigt oder der gleichen ^^.
Also Falls wer eine Ahnung hat, wie man die Aussage beweist, wäre da wirklich sehr dnakbar. Die Aussage MUSS auch nicht stimmen, kann auch durchaus sein, dass sie falsch ist, dann müsste man wohl ein gegenbeispiel finden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
gegen was soll denn dein Limes laufen? Teile es uns doch bitte mit.
Vielleicht [mm] $\limes_{n \to 1}\bruch{(ln(n) )^k}{n^c} [/mm] $ ?
Gibt es noch Informationen über k?
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Sharadix |
Hi,
tut mir Leid,
k ist eine Konstante, also k element aus N
c >0
die genaue Aufgabenstellung lautet eigentlich:
(beweise oder widerlege:
[mm] (log(n))^k [/mm] element [mm] o(n^c)
[/mm]
Die O-notations Beweise(http://de.wikipedia.org/wiki/Landau-Symbole) für das klein 'o' sollten eigentlich wie folgend ablaufen:
lim(n gegen [mm] unendlich)|(log(n))^k/n^c|=1 [/mm]
Naja und es ist nun halt zu zeigen/beweisen ob die Aussage stimmt oder nicht. Also um nochmal konkret auf deine Frage einzugehen, ich meine gesucht ist der limes von n->unendlich.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Fr 23.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das ganze k mal mit L'Hopital zu machen ist doch einfach, machs mal 3 mal hintereinander und überleg, wann du den ln los hast.
da ln und log sich ja nur durch nen festen Faktor unterscheiden, nimm lieber für Konv. gegen 0 gleich ln.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Sa 24.05.2008 | | Autor: | Sharadix |
Also wenn ich jetzt den l'hospital 2 mal einsetze habe ich im Zähler
f(n)'= (k*ln(n)^(k-1))*1/n
Und hier dann die Produktregel ?
f(n)''=1/n*(k*(k-1)*(ln(n)^(k-2))+(-1/n²)*(k*ln(n)^(k-1))
Also wirklich weiter find ich bringt das einen ja nicht. Irgendwas mit k! kommt dann vorne raus. Allerdings habe ich, so muss ich gestehen, nicht so ganz verstanden was du damit meinst:
"nimm lieber für Konv. gegen 0 gleich ln. "
Wie wo was? Tut mir leid wenn ich so blöd Frage, aber was genau soll ich hier machen. Ich schätze mal, dass der ln dann irgendwie vernachlässigt werden kann. Aber so ganz überblick ich das nicht, was du meinst.
Vielleicht könntest du (oder wer auch immer sich befähigt fühlt diesen Sachverhalt nochmal für dummies zu erklären) den obigen Satz noch mal erläutern. Mir fehlen leider ein wenig die Grundlagen, vorallem mit logarithmen usw. tue ich mir bisschen schwer :(.
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Hallo Sharadix,
> Also wenn ich jetzt den l'hospital 2 mal einsetze habe ich
> im Zähler
>
> f(n)'= (k*ln(n)^(k-1))*1/n ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Bevor du weiter ableitest, leite den Nenner auch ab und fasse zusammen.
Wenn du das so machst, siehst du ratzfatz das Schema:
Also: [mm] $\frac{\left[\left(\ln(n)\right)^k\right]'}{\left[n^c\right]'}=\frac{k\cdot{}\left(\ln(n)\right)^{k-1}\cdot{}\frac{1}{n}}{c\cdot{}n^{c-1}}=\frac{k\cdot{}\left(\ln(n)\right)^{k-1}}{c\cdot{}n^c}$
[/mm]
Das Biest strebt nun für [mm] $n\to\infty$ [/mm] wieder gegen den unbestimten Ausdruck [mm] $\frac{\infty}{\infty}$
[/mm]
Also wieder ran mit de l'Hôpital
[mm] $\frac{\left[k\cdot{}\left(\ln(n)\right)^{k-1}\right]'}{\left[c\cdot{}n^c\right]}=\frac{k\cdot{}(k-1)\cdot{}\left(\ln(n)\right)^{k-2}\cdot{}\frac{1}{n}}{c\cdot{}c\cdot{}n^{c-1}}=\frac{k\cdot{}(k-1)\cdot{}\left(\ln(n)\right)^{k-2}}{c^2\cdot{}n^c}$
[/mm]
Ok, Schema ersichtlich?
Mit jeder Anwendung von de l'Hôpital schraubst du den Exponenten vom [mm] $\ln$ [/mm] im Zähler um 1 runter.
Das musst du solange machen, bis du den Exponenten 1 erhältst.
Danach noch ein letztes Mal de l'Hôpital, dann hast du's
Was erhältst du also nach der (k-1)-ten Anwendung?
Und was dann nach der k-ten?
> Und hier dann die Produktregel ?
> f(n)''=1/n*(k*(k-1)*(ln(n)^(k-2))+(-1/n²)*(k*ln(n)^(k-1))
>
> Also wirklich weiter find ich bringt das einen ja nicht.
> Irgendwas mit k! kommt dann vorne raus. Allerdings habe
> ich, so muss ich gestehen, nicht so ganz verstanden was du
> damit meinst:
> "nimm lieber für Konv. gegen 0 gleich ln. "
> Wie wo was? Tut mir leid wenn ich so blöd Frage, aber was
> genau soll ich hier machen. Ich schätze mal, dass der ln
> dann irgendwie vernachlässigt werden kann. Aber so ganz
> überblick ich das nicht, was du meinst.
> Vielleicht könntest du (oder wer auch immer sich befähigt
> fühlt diesen Sachverhalt nochmal für dummies zu erklären)
> den obigen Satz noch mal erläutern. Mir fehlen leider ein
> wenig die Grundlagen, vorallem mit logarithmen usw. tue ich
> mir bisschen schwer :(.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Sa 24.05.2008 | | Autor: | Sharadix |
Ahh,
super genial, vielen Dank. Das sich das 1/n rauskürzt, darauf hätt ich auch kommen müssen. Danke fürs Augen öffnen.
Also wenn ich mich nicht verechnet habe müsste am Ende dastehen
lim| [mm] k!/c^k*n| [/mm] und das geht dann natürlich gegen 0 :)
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Hallo nochmal,
> Ahh,
> super genial, vielen Dank. Das sich das 1/n rauskürzt,
> darauf hätt ich auch kommen müssen. Danke fürs Augen
> öffnen.
>
> Also wenn ich mich nicht verechnet habe müsste am Ende
> dastehen
>
> lim| [mm]k!/\red{(}c^k*n\red{^c}\red{)}|[/mm] und das geht dann natürlich gegen 0 :) ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Da haste das "hoch c" vergessen mit aufzuschreiben und die Klammer!
Du kannst es vernünftig so eintippen: \lim\limits_{n\to\infty}\bruch{k!}{c^k\cdot{}n^c}=0
Das ergibt schön leserlich [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\bruch{k!}{c^k\cdot{}n^c}=0$ [/mm] 
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:15 Sa 24.05.2008 | | Autor: | Sharadix |
Oh, ja sorry, das war grade aber nur Schlamperei beim Tippen. Hab das schon so in meiner Lösung notiert.
Aber vielen Dank, ohne die viele Hilfe hät ichs wohl Nie hinbekommen. :))))
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