Ableitung und Linearität < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beurteilen sie begründet, ob die folgenden Ausagen wahr oder falsch sind.
a) Ist f: [mm] \IR \to \IR [/mm] differenzierbar, so ist die Ableitung im Punkt t [mm] \in \IR [/mm] eine im Allgemeinen nichtlineare Abbildung von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR, [/mm] z.B. f(t)=sin(t), f'(t)=cos(t).
b) Ist f: [mm] \IR \to \IR [/mm] differenzierbar, so ist die Ableitung im Punkt t [mm] \in \IR [/mm] eine lineare Abbildung von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR, [/mm] z.B. f(t)=sin(t), f'(t) [mm] \cdot [/mm] h=cos(t) [mm] \dot [/mm] h
c) Ist f: [mm] \IR^n \to \IR^m [/mm] differenzierbar, so ist die Jakobimatrix, deren Einträge die partiellen Ableitungen von f sind, das Differential von f.
d) Ist f: [mm] \IR^n \to \IR^m [/mm] differenzierbar, so stellt die Jakobimatrix, deren Einträge die partiellen Ableitungen von f sind, das Differential von f bzgl. der Standardbasis dar. |
Hallo!
Also bei den ersten beiden bin ich mir sehr unsicher. Einerseits hatten wir einen Satz der die Ableitung als lineare Abbildung charakterisiert hat, aber andererseits bin ich mir in bezig auf das beispiel so unsicher. Denn linear heißt doch, dass
f(a+b) = f(a) + f(b) und f(x [mm] \cdot [/mm] a) = x (f(a)
erfüllt sein müssen. Und hab das mal in meinen Taschenrechner eingegeben und cos(8) ist nicht dasselbe wie cos(5)+cos(3)... Das heißt das der cos nicht stetig wäre. Stimmt das? Darf man das so probieren?
Bei c und d bin ich mir ziemlich sicher, dass d stimmt und c nicht, da die Jakobimatrix ja nicht das Differential ist, sondern das Differential mal die Standardbasis. Und genau das sagt d meiner meinung nach aus.
Wäre echt super wenn mir jemand helfen könnte oder Tipps geben könnte....
Liebe Grüße Wiebke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Fr 03.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:27 Sa 04.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Beurteilen sie begründet, ob die folgenden Ausagen wahr
> oder falsch sind.
>
> a) Ist f: [mm]\IR \to \IR[/mm] differenzierbar, so ist die Ableitung
> im Punkt t [mm]\in \IR[/mm] eine im Allgemeinen nichtlineare
> Abbildung von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR,[/mm] z.B. f(t)=sin(t),
> f'(t)=cos(t).
>
> b) Ist f: [mm]\IR \to \IR[/mm] differenzierbar, so ist die Ableitung
> im Punkt t [mm]\in \IR[/mm] eine lineare Abbildung von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR,[/mm]
> z.B. f(t)=sin(t), f'(t) [mm]\cdot[/mm] h=cos(t) [mm]\dot[/mm] h
>
> c) Ist f: [mm]\IR^n \to \IR^m[/mm] differenzierbar, so ist die
> Jakobimatrix, deren Einträge die partiellen Ableitungen
> von f sind, das Differential von f.
>
> d) Ist f: [mm]\IR^n \to \IR^m[/mm] differenzierbar, so stellt die
> Jakobimatrix, deren Einträge die partiellen Ableitungen
> von f sind, das Differential von f bzgl. der Standardbasis
> dar.
>
> Hallo!
> Also bei den ersten beiden bin ich mir sehr unsicher.
> Einerseits hatten wir einen Satz der die Ableitung als
> lineare Abbildung charakterisiert hat, aber andererseits
> bin ich mir in bezig auf das beispiel so unsicher. Denn
> linear heißt doch, dass
> f(a+b) = f(a) + f(b) und f(x [mm]\cdot[/mm] a) = x (f(a)
> erfüllt sein müssen. Und hab das mal in meinen
> Taschenrechner eingegeben und cos(8) ist nicht dasselbe
> wie cos(5)+cos(3)... Das heißt das der cos nicht stetig
> wäre. Stimmt das? Darf man das so probieren?
Nun, die Antwort auf die Aufgabe haengt sehr stark davon ab, wie ihr Ableitung genau definiert habt. Und zwar sowohl im eindimensionalen wie auch im mehrdimensionalen.
Und ja, $t [mm] \mapsto \cos [/mm] t$ ist nicht linear. Die Funktion $h [mm] \mapsto [/mm] h [mm] \cdot \cos [/mm] t$ ist jedoch sehr wohl linear.
> Bei c und d bin ich mir ziemlich sicher, dass d stimmt und
> c nicht, da die Jakobimatrix ja nicht das Differential ist,
> sondern das Differential mal die Standardbasis. Und genau
> das sagt d meiner meinung nach aus.
Ja, das wird wohl der Fall sein. Aber um sicher zu gehen musst du schon sagen wie ihr das genau definiert habt; ohne diese Information kann ich nichts genaueres sagen.
LG Felix
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