www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Differentiation" - Ableitung vom Cos und Sin
Ableitung vom Cos und Sin < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Ableitung vom Cos und Sin: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:18 Sa 14.07.2012
Autor: Bodo0686

Aufgabe
Gegeben sei die Kurve $c(t)=(cos^3t,sin^3t). $

a) Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen.
b) Berechnen Sie $||c'|| $.

Hallo Zusammen,

ich hänge an der zweiten Ableitung. Kann mir jemand kurz erklären wie man dies hier macht. Man muss ja die Kettenregel beachten.

$c(t)=(cos^3t,sin^3t)$
$c'(t)=(-3 [mm] \cdot [/mm] cos^2t [mm] \cdot [/mm] sint,3 [mm] \cdot sin^2t\cdot [/mm] cost)$
[mm] $c''(t)=(-6\cdot [/mm] cost [mm] \cdot [/mm] sint )$ so und nun hänge ich fest...

[mm] ||c'(t)||=\sqrt{9cos^4t\cdot sin^2 t + 9 \cdot sin^4 t \cdot cos^2t} [/mm]

Könnt ihr mir kurz helfen!
Danke und Grüße!

        
Bezug
Ableitung vom Cos und Sin: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:32 Sa 14.07.2012
Autor: schachuzipus

Hallo Bodo,


> Gegeben sei die Kurve [mm]c(t)=(cos^3t,sin^3t).[/mm]
>  
> a) Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen.
>  b) Berechnen Sie [mm]||c'|| [/mm].
>  Hallo Zusammen,
>  
> ich hänge an der zweiten Ableitung. Kann mir jemand kurz
> erklären wie man dies hier macht. Man muss ja die
> Kettenregel beachten.
>  
> [mm]c(t)=(cos^3t,sin^3t)[/mm]
>  [mm]c'(t)=(-3 \cdot cos^2t \cdot sint,3 \cdot sin^2t\cdot cost)[/mm] [ok]
>  
> [mm]c''(t)=(-6\cdot cost \cdot sint )[/mm]

Das muss doch wieder ein Vektor sein, du musst beide Komponenten von [mm]c'(t)[/mm] ableiten.

Dazu Produkt- und Kettenregel hernehmen ...

Mal für die erste Komponente:

Den konstanten Faktor [mm]-3[/mm] kannst du stehenlassen, dann ist [mm]\cos^2(t)[/mm] der eine Faktor und [mm]\sin(t)[/mm] der andere:

[mm]\frac{d}{dt}\left(-3\cos^2(t)\sin(t)\right)=-3\frac{d}{dt}\left(\blue{\cos^2(t)}\cdot{}\red{\sin(t)}\right)=-3\left[\blue{-2\cos(t)\sin(t)}\cdot{}\red{\sin(t)}+\blue{\cos^2(t)}\red{\cos(t)}\right]=\ldots[/mm]

> so und nun hänge ich
> fest...
>  
> [mm]||c'(t)||=\sqrt{9cos^4t\cdot sin^2 t + 9 \cdot sin^4 t \cdot cos^2t}[/mm]
>  
> Könnt ihr mir kurz helfen!
>  Danke und Grüße!

LG

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Ableitung vom Cos und Sin: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:41 Sa 14.07.2012
Autor: Bodo0686

Hallo,

also hätte ich:

$ [mm] c''(t)=(6\cdot [/mm] cost [mm] \cdot [/mm] sin^2t + [mm] cos^3 [/mm] t, [mm] 6\cdot [/mm] sint [mm] \cdot cos^2 [/mm] t - [mm] sin^3 [/mm] t)$

Grüße,

Bezug
                        
Bezug
Ableitung vom Cos und Sin: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:48 Sa 14.07.2012
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Hallo,
>  
> also hätte ich:
>  
> [mm]c''(t)=(6\cdot cost \cdot sin^2t + cos^3 t, 6\cdot sint \cdot cos^2 t - sin^3 t)[/mm]

Du hast die Vorfaktoren nicht konsequent reingezogen:

[mm]c''(t)=(6\cos(t)\sin^2(t)\red{-3}\cos^3(t),6\sin(t)\cos^2(t)\red{-3}\sin^3(t))[/mm]

>  
> Grüße,  


LG

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Ableitung vom Cos und Sin: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:57 Sa 14.07.2012
Autor: Bodo0686

Ok!

Für die Norm hätte ich doch jetzt:

$ [mm] ||c'(t)||=\sqrt{9cos^4t\cdot sin^2 t + 9 \cdot sin^4 t \cdot cos^2t} [/mm] $

wie könnte ich das jetzt weiter vereinfachen? Ich glaube nicht, dass man hier schon fertig ist, oder?

Grüße

Bezug
                                        
Bezug
Ableitung vom Cos und Sin: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:10 Sa 14.07.2012
Autor: fencheltee


> Ok!
>  
> Für die Norm hätte ich doch jetzt:
>
> [mm]||c'(t)||=\sqrt{9cos^4t\cdot sin^2 t + 9 \cdot sin^4 t \cdot cos^2t}[/mm]
>  
> wie könnte ich das jetzt weiter vereinfachen? Ich glaube
> nicht, dass man hier schon fertig ist, oder?
>  
> Grüße

hallo,
klammer doch mal nen [mm] sin^2 [/mm] und nen [mm] cos^2 [/mm] aus..

gruß tee


Bezug
                                                
Bezug
Ableitung vom Cos und Sin: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:16 Sa 14.07.2012
Autor: Bodo0686

Hallo Tee,

also hätte ich:

$ [mm] ||c'(t)||=\sqrt{9cos^4t\cdot sin^2 t + 9 \cdot sin^4 t \cdot cos^2t}=\sqrt{9\cdot cos^2t \cdot sin^2t \cdot (cos^2t + sin^2 t)}=3 \cdot [/mm] cost [mm] \cdot [/mm] sint$

Bezug
                                                        
Bezug
Ableitung vom Cos und Sin: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:29 Sa 14.07.2012
Autor: fencheltee


> Hallo Tee,
>  
> also hätte ich:
>  
> [mm]||c'(t)||=\sqrt{9cos^4t\cdot sin^2 t + 9 \cdot sin^4 t \cdot cos^2t}=\sqrt{9\cdot cos^2t \cdot sin^2t \cdot (cos^2t + sin^2 t)}=3 \cdot cost \cdot sint[/mm]

hallo,
das letzte gleichheitszeichen ist nicht korrekt.
bedenke mal wie der wertebereich links und der rechts von dem gleichheitszeichen aussieht

gruß tee

Bezug
                                                                
Bezug
Ableitung vom Cos und Sin: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:10 Sa 14.07.2012
Autor: Bodo0686


> > Hallo Tee,
>  >  
> > also hätte ich:
>  >  
> > [mm]||c'(t)||=\sqrt{9cos^4t\cdot sin^2 t + 9 \cdot sin^4 t \cdot cos^2t}=\sqrt{9\cdot cos^2t \cdot sin^2t \cdot (cos^2t + sin^2 t)}=3 \cdot cost \cdot sint[/mm]
>
> hallo,
>  das letzte gleichheitszeichen ist nicht korrekt.
>  bedenke mal wie der wertebereich links und der rechts von
> dem gleichheitszeichen aussieht
>
> gruß tee


Hallo,

$3 |sint [mm] \cdot [/mm] cos t |$

Bezug
                                                                        
Bezug
Ableitung vom Cos und Sin: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:49 Sa 14.07.2012
Autor: fencheltee


> > > Hallo Tee,
>  >  >  
> > > also hätte ich:
>  >  >  
> > > [mm]||c'(t)||=\sqrt{9cos^4t\cdot sin^2 t + 9 \cdot sin^4 t \cdot cos^2t}=\sqrt{9\cdot cos^2t \cdot sin^2t \cdot (cos^2t + sin^2 t)}=3 \cdot cost \cdot sint[/mm]
> >
> > hallo,
>  >  das letzte gleichheitszeichen ist nicht korrekt.
>  >  bedenke mal wie der wertebereich links und der rechts
> von
> > dem gleichheitszeichen aussieht
> >
> > gruß tee
>
>
> Hallo,
>  
> [mm]3 |sint \cdot cos t |[/mm]

[ok]

gruß tee

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]