Ableitung von Abbildungen < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Mi 25.06.2008 | | Autor: | xxxx |
| Aufgabe | Bestimme jeweils die Ableitung der folgenden Abbildungen:
a) f : [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] , f(x) = <Ax, x>, wobei A [mm] \in M_{nxn}(\IR) [/mm] und < * , * > ein Skalaprodukt auf [mm] \IR^n [/mm] ist.
b) g: [mm] \IR^n [/mm] \ {0} [mm] \to \IR^n [/mm] , g(x) = [mm] ||x||^{\lambda}*x, [/mm] fuer ein festes [mm] \lambda \in \IR. [/mm] Fuer welches [mm] \lambda [/mm] lässt sich g zu einer auch in x = 0 differenzierbaren Abbildung fortsetzten.... Ist die Fortsetzung sogar in der Klasse [mm] C^1 [/mm] |
zu a) also mein Hauptproblem besteht darin, dass ich mir nicht so genau vorstellen kann, was ich ueberhaupt ableiten soll. Also es ist schon klar, dass ich <Ax, x> ableiten soll, nur wie... denn wenn A eine nxn Matrix ist und x ein Vektor [mm] (x_1, [/mm] ...., [mm] x_n) [/mm] dass ich dann eine ziemlich miese Matrix rauskriege, wenn ich das auflöse, kann man das viell auch als Summe schreiben, und zwar so.... ich bin mir da nicht ganz sicher...
[mm] \summe_{k=1}^{n} \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n}a_{ij}x_j *x_k
[/mm]
und das muesste man doch dann einfach ableiten könne, weil es gilt ja, dass man eine Matrix einzeln in ihren Komponenten ableiten darf oder so ähnlich....
zu b)
hierzu hab ich noch keine richtige Idee, nur wenn ich zeigen möchte, dass g auch in 0 differenzierbar ist, musste ich doch eine Funktion habe, die wenn ich die Ableite und dann fuer x = 0 einsetzte Null rauskriege oder... weil sowas haben wir schonmal mit einer anderen Funktion gemacht...
also es wäre echt super wenn mir jemand helfen hönnte...
lg xxxx
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> Bestimme jeweils die Ableitung der folgenden Abbildungen:
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> a) f : [mm]\IR^2 \to \IR[/mm] , f(x) = <Ax, x>, wobei A [mm]\in M_{nxn}(\IR)[/mm]
> und < * , * > ein Skalaprodukt auf [mm]\IR^n[/mm] ist.
Es ist
[mm]f(x+\Delta x)==\cdots = +++[/mm]
dabei ist $<Ax,x>$ wieder $f(x)$ und nur die beiden mittleren Terme sind linear in [mm] $\Delta [/mm] x$. Somit ist diese Abbildung [mm] $\Delta x\mapsto +
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 Do 26.06.2008 | | Autor: | xxxx |
hm...
also erstmal, wie kommst du ueberhaupt auf f(x + [mm] \Delta [/mm] x)... wie du das danach auflöst versteh ich auch, nur am Ende schreibst du, das nur die beiden mittleren Terme linear in [mm] \Delta [/mm] x sind nur warum ist dies dann meine gesuchte Ableitung...
lg xxxx
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> hm...
> also erstmal, wie kommst du ueberhaupt auf f(x + [mm]\Delta[/mm]
> x)... wie du das danach auflöst versteh ich auch, nur am
> Ende schreibst du, das nur die beiden mittleren Terme
> linear in [mm]\Delta[/mm] x sind nur warum ist dies dann meine
> gesuchte Ableitung...
Ich kann natürlich nicht wissen, wie genau der Begriff der Ableitung einer Abbildung [mm] $f:\IR^n \rightarrow \IR^m$ [/mm] (oder, allgemeiner, von Banachräumen) in Deiner Vorlesung und/oder Deinem Lehrbuch definiert wurde. Man könnte dies etwa so gemacht haben: $f$ heisst an der Stelle $x$ ableitbar, genau dann, wenn es eine lineare Abbildung $g$ gibt, so dass gilt:
[mm]f(x+\Delta x)=f(x)+g(\Delta x)+o(\parallel \Delta x\parallel),\qquad \text{für $\Delta x\rightarrow 0$}[/mm]
$g$ ist in einem solchen Falle die Ableitung von $f$ an der Stelle $x$ ("beste" lineare Näherung für das Änderungsverhalten von $f$ an der Stelle $x$).
$g$ war in Deinem Beispiel eben die lineae Abbildung: [mm] $g:\; \Delta x\mapsto +\parallel=o(\parallel \Delta x\parallel)$ [/mm] gilt, für [mm] $\Delta x\rightarrow [/mm] 0$ (Landausches "klein-o").
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Do 26.06.2008 | | Autor: | xxxx |
Hey,
nur damit ich das auch richtig verstanden habe, wir hab in der VL gesagt:
Seien V , W endlich dimensionale reelle normierte Vektorräume. Sei D [mm] \subset [/mm] V
offen, [mm] x_0 \in [/mm] D und f: D [mm] \to [/mm] W eine Abbildung.
Wir sagen, dass f differenzierbar in [mm] x_0 [/mm] ist,
falls es eine lineare Abbildung T [mm] \in [/mm] L (V , W ) gibt so, dass
[mm] \limes_{x\rightarrow\x_0} \bruch{||f(x) - f(x_0) - T(x - x_0)||}{|| x - x_0||} [/mm] = 0
(also das ist mir klar, hier ueberprueft man, ob die Ableitung ueberhaupt diff'bar ist, auch wenn ich nicht so genau weiss, woher ich mein T kriegen soll.)
d.h f(x) = [mm] f(x_0) [/mm] + T(x - [mm] x_0) [/mm] + [mm] p_{x_0}, [/mm] mit [mm] \limes_{x\rightarrow\x_0} \bruch{p_{x_0}(x)}{||x-x_0||} [/mm] = 0 (mein p soll hier uebrigend dieser kleine griechische Buchstabe sein, der genauso aussieht, ich find den nur leider im Formeleditor nicht)
Die Abbildung T ist eindeitg bestimmt und heisst Differential von f in [mm] x_0, [/mm] bezeichnet T = [mm] df(x_0) [/mm]
hm... und das muesste ich jetzt doch auf meine erste Funktion anwenden, obwohl mir noch nicht so klar ist, wie genau man das machen muss.
Weil das wäre dann doch in meinem Fall
f(x) = [mm] f(x_0) [/mm] + T(x - [mm] x_0) [/mm] + [mm] p_{x_0} [/mm] = [mm] [/mm] + und jetzt hänge ich schon wieder fest, also wenn du das mit deine Definition machst, dann macht das Sinn, ist ja quasi nur einsetzten und ausrechnen, aber wenn ich das anders machen will geht das nicht, oder hab ich da irgendwas verwechselt oder so...
wäre echt super lieb wenn du mir nochmal helfen könntest
lg xxxx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Do 26.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
somebody hat dein T g genannt, [mm] x-x_0=\Delta [/mm] x
sonst ist da kein Unterschied.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Do 26.06.2008 | | Autor: | xxxx |
Noch eine Frage habe ich, und zwar wieso wird f(x + [mm] \Delta [/mm] x) gesetzt und dann ausgerechnet und nicht nur f(x) weil so steht das doch eigentlich in der Definition, oder rechnet man das so aus, indem man erst
[mm] f(x_0) [/mm] ausrechnet und dann
f(x - [mm] x_0) [/mm] was dann gleich mein T(x - [mm] x_0) [/mm] und diese beiden dann miteinander addiert und dann noch [mm] p_{x_0}(x) [/mm] hinzurechnet...
hab ich das so richtig verstanden... irgendwie hab ich im Moment ein Brett vor dem Kopf
lg xxxx
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> Noch eine Frage habe ich, und zwar wieso wird f(x + [mm]\Delta[/mm]
> x) gesetzt und dann ausgerechnet und nicht nur f(x) weil so
> steht das doch eigentlich in der Definition, oder rechnet
> man das so aus, indem man erst
> [mm]f(x_0)[/mm] ausrechnet und dann
> f(x - [mm]x_0)[/mm] was dann gleich mein T(x - [mm]x_0)[/mm] und diese
> beiden dann miteinander addiert und dann noch [mm]p_{x_0}(x)[/mm]
> hinzurechnet...
> hab ich das so richtig verstanden... irgendwie hab ich im
> Moment ein Brett vor dem Kopf
Du willst den Wert von $f$ an der Stelle $x$ berechnen, indem Du zum Wert [mm] $f(x_0)$ [/mm] von $f$ an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] die lineare Näherung [mm] $T(x-x_0)$ [/mm] dazugibst (und Du hoffst, dass Dir dies bis auf einen Fehler von kleinerer Ordnung als [mm] $\parallel x-x_0\parallel$ [/mm] den richtigen Wert von $f(x)$ liefert): deshalb schreibst Du zuerst einmal $f(x)$ als $f$ angewandt auf die Summe von [mm] $x_0$ [/mm] und die Differenz [mm] $x-x_0$:
[/mm]
[mm]f(\red{x})=f(\red{x_0+(x-x_0)})==\ldots=f(x_0)+T(x-x_0)+o(\parallel x-x_0\parallel)[/mm]
nur war es für mich angenehmer, anstelle von [mm] $x-x_0$ [/mm] einfach [mm] $\Delta [/mm] x$ zu schreiben und anstelle von [mm] $x_0$ [/mm] habe ich leider $x$ geschrieben. Das kann halt vorkommen: dass meine Benennungskonvention von derjenigen Deiner Vorlesung/Deines Lehrbuches abweicht.
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> b) g: [mm]\IR^n[/mm] \ {0} [mm]\to \IR^n[/mm] , g(x) = [mm]||x||^{\lambda}*x,[/mm]
> fuer ein festes [mm]\lambda \in \IR.[/mm] Fuer welches [mm]\lambda[/mm]
> lässt sich g zu einer auch in x = 0 differenzierbaren
> Abbildung fortsetzten.... Ist die Fortsetzung sogar in der
> Klasse [mm]C^1[/mm]
> zu b)
>
> hierzu hab ich noch keine richtige Idee, nur wenn ich
> zeigen möchte, dass g auch in 0 differenzierbar ist, musste
> ich doch eine Funktion habe, die wenn ich die Ableite und
> dann fuer x = 0 einsetzte Null rauskriege oder... weil
> sowas haben wir schonmal mit einer anderen Funktion
> gemacht...
An Deiner Stelle würde ich zuerst einmal die Ableitung von $g$ unter der Annahme [mm] $x\neq [/mm] 0$ bestimmen. Dabei benötigst Du die Ableitung der euklidischen Norm [mm] $\parallel x\parallel$, [/mm] nämlich: [mm] $\Delta x\mapsto \frac{1}{\parallel x\parallel}
[mm]g'(x):\; \Delta x\mapsto \lambda \parallel x\parallel^{\lambda -1}<\frac{x}{\parallel x\parallel},\Delta x\!> x\;+\;\parallel x{\parallel^\lambda \Delta x \qquad \text{(wie immer ohne Gewähr)}[/mm]
Damit $g$ in [mm] $C^1$ [/mm] ist muss sich diese Ableitung auf $x=0$ stetig fortsetzen lassen. Für welche [mm] $\lambda$ [/mm] ist dies also möglich?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:22 So 29.06.2008 | | Autor: | xxxx |
Nur eine kurze Frage dazu. Muss ich hier dann wieder in g(X) mein x + (x - [mm] x_0) [/mm] einsetzten und dann schauen was wieder mein f(x) ist was mein o||(x - [mm] x_0)|| [/mm] und was mein T ist...
lg xxxx
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> Nur eine kurze Frage dazu. Muss ich hier dann wieder in
> g(X) mein x + (x - [mm]x_0)[/mm] einsetzten und dann schauen was
> wieder mein f(x) ist was mein o||(x - [mm]x_0)||[/mm] und was mein T
> ist...
Theoretisch schon - praktisch eher nicht. Es ist wie beim Ableiten von reellen Funktionen im Rahmen einer Abiturvorbereitung. Man kann die Ableitung zwar über einen Grenzwert bestimmen, viel leicher geht die Sache aber von der Hand, wenn man die eine oder andere Ableitungsregel verwenden kann.
Ich hätte eigentlich angenommen, dass in eurer Vorlesung bereits einige grundlegende Ableitungsregeln bewiesen worden sind. Denn die abzuleitende Abbildung [mm] $g:\; x\mapsto \parallel x\parallel^\lambda \cdot [/mm] x$ lässt sich als Zusammensetzung gewisser (für sich alleine nicht allzu schwer abzuleitender) Abbildung auffassen. Die äusserste Abbildung ist zum Beispiel eine bilineare Abbildung [mm] $b:\; (c,x)\mapsto c\cdot [/mm] x$, die einem Skalar $c$ und einem Vektor $x$ einen Vektor [mm] $c\cdot [/mm] x$ zuordnet. Daher wäre es nützlich, eine entsprechend allgemeine Regel für das Ableiten einer bilinearen Abbildung bereits zu kennen. In diesem Falle ist die Ableitung von $b$ an der Stelle [mm] $(c_0,x_0)$ [/mm] gleich [mm] $b'(c_0,x_0):\; (\Delta c,\Delta x)\mapsto \Delta c\cdot x_0+c_0\cdot\Delta [/mm] x$.
Des weiteren ist aber das erste Argument dieser äussersten bilinearen Abbildung eine Zusammensetzung der Potenzfunktion mit Exponent [mm] $\lambda$ [/mm] und der Norm [mm] $\parallel\ldots \parallel$. [/mm] Also sollte man wissen, wie man solche Zusammensetzungen von Abbildungen, deren Ableitung man kennt (oder leicht bestimmen kann), so zu kombinieren hat, dass man eine Ableitung der zusammengesetzten Abbildung erhält. Vielleicht schaust Du nochmals in Deinen Notizen (oder Deinem Lehrbuch) nach, ob Du dort nicht eine Regel für das Ableiten zusammengesetzter Abbildungen finden kannst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 So 29.06.2008 | | Autor: | xxxx |
Also mir sind die ganzen Sachen wie Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel vertraut und ich hab die letztes Jahr auch auf Teufel komm raus angewendet. Mein eigentliches Problem besteht darin, dass ich das bis jetzt immer auf Funktionen mit Zahlen und einigen x angewandt habe. Aber noch nie auf solche wie oben. Deswegen bin ich mir ziemlich unsicher wie man da rangehen kann.Das man bei der b die Produktregel anwenden kann ist mir klar, auch wie das dann danach aussehen muss. Das einzige wo ich halt unsicher bin ist, wann man das mit dem f(x + [mm] (x-x_0)) [/mm] und dem Limes machen muss und wann nicht...
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> Also mir sind die ganzen Sachen wie Produktregel,
> Quotientenregel und Kettenregel vertraut und ich hab die
> letztes Jahr auch auf Teufel komm raus angewendet. Mein
> eigentliches Problem besteht darin, dass ich das bis jetzt
> immer auf Funktionen mit Zahlen und einigen x angewandt
> habe. Aber noch nie auf solche wie oben.
Die Definition ist auch nicht exakt dieselbe wie beim Ableiten von Funktionen: es ist zumindest eine Verallgemeinerung und deshalb müsste man die grundlegenden Ableitungsregeln, nachdem diese Definition eingeführt wurde, auch (nochmals) beweisen.
> Deswegen bin ich
> mir ziemlich unsicher wie man da rangehen kann.Das man bei
> der b die Produktregel anwenden kann ist mir klar, auch wie
> das dann danach aussehen muss. Das einzige wo ich halt
> unsicher bin ist, wann man das mit dem f(x + [mm](x-x_0))[/mm] und
> dem Limes machen muss und wann nicht...
Auch bei einer Funktion [mm] $x\mapsto(\sqrt{x+1})^\lambda \cdot e^{x^2}$ [/mm] würdest Du zur Berechnung der Ableitung doch nicht auf die Limes-Definition der Ableitung zurückgehen wollen (obwohl dies im Prinzip möglich sein sollte). Statt dessen würdest Du Dich mit der Verwendung der entsprechenden Ableitungsregeln begnügen.
Analog: die Abbildung [mm] $x\mapsto \parallel x\parallel^\lambda$ [/mm] müsste man nach der Kettenregel ableiten dürfen (alles andere wäre Stundentenquälerei). Die äussere Funktion ist eine Potenzfunktion [mm] $(\ldots)^\lambda$, [/mm] deren Ableitung also [mm] $\lambda\cdot (\ldots)^{\lambda-1}$ [/mm] ist. Und diese (äussere) Ableitung hätte man nun noch mit der inneren Ableitung, d.h. der Ableitung von [mm] $x\mapsto \parallel x\parallel$ [/mm] zu verknüpfen. Ich schreibe hier ausdrücklich "verknüpfen", denn bei der Kettenregel für Abbildungen hat man nicht mehr "das Produkt von äusserer und innerer Ableitung", sondern "die Zusammensetzung von äusserer und innerer Ableitung" (diese beiden Ableitungen sind lineare Abbildungen).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 So 29.06.2008 | | Autor: | xxxx |
Hey,
also ich hätte noch eine Frage, und zwar ist das eine feste Regel, dass wenn du eine Norm ableitest, [mm] \bruch{1}{||x||} [/mm] rauskriegst und bei x = [mm] x-x_0, [/mm] weil normalerweise kriegt man ja, wenn man x ableitet 1 raus...
lg xxxx
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> Hey,
> also ich hätte noch eine Frage, und zwar ist das eine
> feste Regel, dass wenn du eine Norm ableitest,
> [mm]\bruch{1}{||x||}[/mm] rauskriegst und bei x = [mm]x-x_0,[/mm]
> weil normalerweise kriegt man ja, wenn man x ableitet 1
> raus...
Das ist bei zahlenwertigen Abbildungen (=Funktionen) so, aber wenn Du eine Abbildung [mm] $x\mapsto [/mm] x$ ableitest ($x$ ein Vektor), dann ist deren Ableitung die identische (lineare Abbildung): [mm] $\Delta x\mapsto \Delta [/mm] x$.
Ich gehe davon aus, dass die Norm [mm] $\parallel x\parallel$ [/mm] mit dem Skalarprodukt [mm] $<\;,\;>$ [/mm] über die Beziehung [mm] $\parallel x\parallel^2 [/mm] =<x,x>$ verknüpft ist. Daraus kann man die Ableitung von [mm] $\parallel x\parallel$ [/mm] bestimmen. Denn Anwendung der Kettenregel liefert
[mm]\left(\parallel x\parallel^2\right)'(\Delta x)=2\parallel x\parallel \cdot \parallel x\parallel'(\Delta x)[/mm]
aber dies muss auch dasselbe sein wie
[mm]\left(\right)'(\Delta x)=<\Delta x,x>+=2[/mm]
(dabei habe ich wieder die Zusammensetzung der Ableitung der bilinearen Abbildung [mm] $<\;,\;>$ [/mm] und der Ableitung von [mm] $x\mapsto [/mm] x$ verwendet) Gleichsetzen ergibt:
[mm]2\parallel x\parallel\cdot \parallel x\parallel'(\Delta x)=2[/mm]
woraus, durch Auflösen nach [mm] $\parallel x\parallel'(\Delta [/mm] x)$, folgt: [mm] $\parallel x\parallel'(\Delta x)=\frac{1}{\parallel x\parallel}=<\frac{x}{\parallel x\parallel},\Delta [/mm] x>$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Mo 30.06.2008 | | Autor: | manmath |
Zitat von Somebody:
dabei ist <Ax,x> wieder f(x) und nur die beiden mittleren Terme sind linear in $ [mm] \Delta [/mm] x $. Somit ist diese Abbildung $ [mm] \Delta x\mapsto +
dazu meine Verständnisfrage:
in den Büchern steht, dass die Ableitung einer Abbildung eine 1-zeilige Matrix ist, in dem Zitat und auch zB im letzten Beitrag werden Skalarprodukte als Ableitungen angegeben, Skalarprodukte sind aber Zahlen oder versteh ich etwas falsch?
manmath
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> Zitat von Somebody:
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> dabei ist <Ax,x> wieder f(x) und nur die beiden mittleren
> Terme sind linear in [mm]\Delta x [/mm]. Somit ist diese Abbildung
> [mm]\Delta x\mapsto +[/mm] die gesuchte
> Ableitung von f an der Stelle x.
>
> dazu meine Verständnisfrage:
>
> in den Büchern steht, dass die Ableitung einer Abbildung
> eine 1-zeilige Matrix ist,
Nein, grundsätzlich ist eine Ableitung keine Matrix, sondern eine lineare Abbildung. Was Du vermutlich meinst ist dies: die Ableitung einer Abbildung $f: [mm] \IR^n\rightarrow \IR$ [/mm] an der Stelle [mm] $x\in\IR^n$ [/mm] ist eine lineare Abbildung $df(x): [mm] \IR^n \rightarrow \IR$, [/mm] deren Abbildungsmatrix (bezüglich welcher Basis?) eine einzeilige Matrix ist (sogenannter Gradient [mm] $\mathrm{grad}f(x)$: [/mm] ein Vektor). Die Ableitung $df$ selbst ist eigentlich eine Abbildung $df: [mm] \IR^n\rightarrow \left(\IR^n\rightarrow \IR\right)$. [/mm] Das heisst: zu jedem [mm] $x\in \IR^n$ [/mm] liefert sie eine lineare Abbildung [mm] $df(x):\IR^n\rightarrow \IR$, [/mm] mit der gewünschten Approximationseigenschaft [mm] $f(x+\Delta x)=f(x)+df(x)(\Delta x)+o(\parallel x\parallel)$, [/mm] für [mm] $\Delta x\rightarrow [/mm] 0$.
Die Anwendung dieser Ableitung $df(x)$ von $f$ an der Stelle $x$ auf einen gewissen Zuwachs [mm] $\Delta [/mm] x$ ist dann eben im Grunde dasselbe wie das Skalarprodukt des Gradienten mit dem Zuwachs: [mm] $df(x)(\Delta x)=<\mathrm{grad}f(x),\Delta [/mm] x>$.
> in dem Zitat und auch zB im
> letzten Beitrag werden Skalarprodukte als Ableitungen
> angegeben, Skalarprodukte sind aber Zahlen oder versteh ich
> etwas falsch?
Der Wert der Ableitung $df(x)$ einer Funktion [mm] $f:\IR^n \rightarrow\IR$ [/mm] an einer gewissen Stelle $x$, angewandt auf einen Zuwachs [mm] $\Delta x\in \IR^n$, [/mm] ist in der Tat eine Zahl (Skalar), die Zahl [mm] $df(x)(\Delta [/mm] x)$. Wohingegen die Ableitung $df(x)$ an der Stelle $x$ selbst eine lineare Abbildung ist: keine Zahl, keine Matrix und auch kein Vektor (aka. Gradient).
[mm] $df(x):\IR^n \ni\Delta x\mapsto +\in \IR$ [/mm] ist eine lineare Abbildung des [mm] $\IR^n$ [/mm] in den [mm] $\IR^1$, [/mm] mit der gewünschten Approximationseigenschaft - und daher muss es sich um die gesuchte Ableitung $df(x)$ von $f$ an der Stelle $x$ handeln.
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